（2）当b?122(x?1时，f'(x)?2x?1)2，?x???1,???1?'?时，f(x)?0, 2?1?1?'x???,???时，f(x)?0,?b?时，函数f(x)在??1,???上无极值点。
2?2?12（3）当b?时，解f'(x)?0得两个不同解x1??1?1?2b2?1??1?1?2b2，x2??1?1?2b2.
当b?0时，x1???1，x2?1?2b2??1，
?x1???1,???,x2???1,???,
?1?1?2b2此时f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?当0?b?'.
12时，x1,x2???1,???,
'f(x)在??1,x1?,?x2,???都大于0 ，f(x)在(x1,x2)上小于0 ，
此时f(x)有一个极大值点x1??1?1?2b2和一个极小值点x2??1?1?2b2.
综上可知，b?0时，f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?12?1?1?2b2；
0?b?12时，f(x)有一个极大值点x1??1?1?2b2和一个极小值点x2??1?1?2b2；
b?时，函数f(x)在??1,???上无极值点。
2（III） 当b??1时，f(x)?x?ln(x?1).
令h(x)?x?f(x)?x?x?ln(x?1),则h(x)?332'3x?(x?1)x?132在?0,???上恒正，
?h(x)在?0,???上单调递增，当x??0,???时，恒有h(x)?h(0)?0.
即当x??0,???时，有x?x?ln(x?1)?0,ln(x?1)?x?x，
3223对任意正整数n，取x?1n得ln(1n?1)?1n2?1n3
【试题分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是f'(x)?0是b?讨论，由（I）可知分类的标准为b?1212和定义域??1,???共同作用的结果；（II）需要分类
12,0?b?构造新函数为证明不等式“服,b?0.（III）
务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据f(x)导函数的特点迅速判断
f(x)?0或f(x)?0。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直
''观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由f'(x)?0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”. （全国卷二理）
已知函数f(x)?x3?x．
（1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)
2解：（1）f(x)的导数f?(x)?3x?1．曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为：
23y?f(t)?f?(t)(x?t)，即y?(3t?1)x?2t．
（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b?(3t?1)a?2t．
若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程2t?3at?a?b?0有三个相异的实数根．记g(t)?2t?3at?a?b，则g?(t)?6t?6at?6t(t?a)． 当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：
t 3222332(??，0) 0 0 极大值a?b (0，a) ? a (a，??) g?(t) g(t) ? 0 极小值b?f(a) ? 增函数 减函数 增函数
由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根；
当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??数根．
综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实数根，
?a?b?0，?b?f(a)?0.a23a2，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根；
，t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实
则?即 ?a?b?f(a)．
（全国卷一理） 设函数f(x)?ex?e?x．
（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x．由于e?e≥2e?e（当且仅当x?0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，
x?x（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?e?e?a?2?a≥0，
x-xx?x?2，故f?(x)≥2．
故g(x)在(0，?∞)上为增函数，
所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．
a?a?422（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x1?ln，
此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．
所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 2?． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，设函数f(x)?ln(x?a)?x
2
（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln（江西理）
如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，0≤?≤π2)的图象与yy e2．
轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为?2． （1）求?和?的值； （2）已知点A??π?点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)，0?，
?2?3?π?O 3 A P x 是PA的中点，当y0?，x0?时，求x0的值．
?2，π?2??32?2解：（1）将x?0，y?所以???63代入函数y?2cos(?x??)得cos??，因为0≤?≤，
．
?6又因为y???2?sin(?x??)，y?x?0????2，
，所以??2，因此y?2cos?2x????? ?．6?（2）因为点A?3????，点P的坐标为?2x0?，3?． ，0?，Q(x0，y0)是PA的中点，y0?22?2???????5??3???cos4x??的图象上，所以． ?0??6?26??5?≤19?6又因为点P在y?2cos?2x?因为
?2≤x0≤?，所以
5?6?11?67?6≤4x0?5?6?从而得4x0?（湖南理）
或4x0?613?6，
2?3．即x0?或x0?3?4．
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在
??的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??25，点P到平
面?的距离PH?0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为
a2万元/km．当山坡上公路长度为lkm
（1≤l≤2）时，其造价为(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，
OA?3(km)．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
A
Ｏ
E
D
B
解：（I）如图，PH⊥?，HB??，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，
PB?PHsin?P
H
A O ?1．设BD?x(km)，0≤x≤1.5．
22? P
则PD?x?PB?x?1?[1，2]．
2 EDH
B
记总造价为f1(x)万元， 据题设有f1(x)?(PD?1?1???43??x??a???4???162212AD?AO)a?(x?212x?114?3)a
?3?a ?(km)时，总造价f1(x)最小．
54当x?14，即BD?14（II）设AE?y(km)，0≤y≤?2f2(y)??PD?1??
，总造价为f2(y)万元，根据题设有
2y?3?21?31?????y???a??2?24???y?3?y?43a?a． ?2?16