338433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。
8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。
22（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。
在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。
118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，
5设△ACD中AC边上的高为h，则有
分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=
18， 518CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b， 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
?3??4k+b=0?k=，解得?4。 ?b=3???b=3来源:21
∴直线AC解析式为y?3x?3。4来源:21世纪教育网]
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（∴直线L1的解析式为y?9个长度单位）而形成的， 23933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。
4424927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。
44（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。 又FE=5，则在Rt△MEF中，-
21
43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3×?，
5539FN=MN?cos∠MFE=3×?。
554412则ON=。∴M点坐标为（，）。
555412直线l过M（，），E（4，0），
55ME=52?32?4，sin∠MFE=
123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。
???b=3?4k+b=0∴直线l的解析式为y=?x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。 综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之
间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、
B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。 3. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2
）、D（0，3
），射线l过点D
34343434且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
22
（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。
（2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得
EFPEDC311==??，∴EF=（3+x）， OQPODO3333此时重叠部分是梯形，其面积为：
14343S?S梯形EFQO?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43 233当3＜x≤5时，如图2，
1S?S梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO??AH?AQ2
43331333 ?x?43?x?。?x?3?2=?x2?32232当5＜x≤9时，如图3，
12S?（BE?OA）?OC?3（12?x）23
23 =?x?123。3
23
当x＞9时，如图4，
11183543S?OA?AH??6?=。
22xx综上所述，S与x的函数关系式为：
?43x?43?0?x?3??3??321333x?x??3
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，23），∴点B的坐标为：（6，23）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： ∵tan?CAO?OC233==，∴∠CAO=30°。 OA63③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA
于E，
∵∠PQO=60°，D（0，33），∴PE=33。 ∴AE?PE?3。
tan600∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，33）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
24
MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600
?（OA?IQ?OI）?sin60??又MJ?AM=AN=3（3?m） 213，
22333?m）=，解得：m=3﹣3。 ∴（22情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G， ∴MG=123。 2∴QK?PKtan600?333?3，GQ?MGtan600?1。 2∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=
1AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 2综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
4. （2012广东汕头12分）如图，抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
1232
【答案】解：（1）在y=x2?x?9中，
1232 25