∴当x=
3时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。 2∴m的变化范围为：3≤m≤4。
【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。 【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。 ∴BK=CD=2，CK=BD。 ∴AK=AB+BK=32+2=42。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。 ∴AC=CK。∴AE=EK=
1AK=22=CE。 2∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°
2?4。 233（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当
22330＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，
22∴AC=AK?cos45°=42?可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；
8?8?2?x?S33（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得m=2?，化为关于
2S2221x321?12?的二次函数m=?36???+4，利用二次函数的性质求得m的变化范围。 x?x3?7. （2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．
2 31
【答案】解：（1）6；无数。
（2）这个图形的一条面积等分线如图：
连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个
图形的一条面积等分线。
（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：
理由如下：
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE。
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。 ∴S四边形ABCD?S?ACD?S?ABC?S?ACD?S?AEC?S?AED。 ∵S△ACD＞S△ABC，
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD
的面积等分线。
【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上
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的高也相等推知
S△ABC=S△AEC
；由“割补法”可以求得
S四边形ABCD?S?ACD?S?ABC?S?ACD?S?AEC?S?AED。
8. （2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c 经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y??x?3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组
?9a?3b?c?0?a?1?? ，解得：?b??4。 ?c?3?a?b?c?0?c?3??∴抛物线的解析式为y=x-4x+3。
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，
若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则
2AOOB?， ADOP1∴DP1=AD=4。∴P1(-1,4)。
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于
M，连接DP2，
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∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形。
由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。 （3）不存在。理由如下：
如图2设点E (x, y)，则
1S?ADE??AD?|y|?2|y|
2①当P1(－1，4)时，
S
四边形AP1CE
=S三角形ACP+S三角形ACE
1
S四边形AP1CE?S?ACP1?S?ACE 11??2?4??2?|y|?4?y22 ∴2y=4+y。 ∴y=4。
2∵点E在x轴下方 ∴y=-4。代入得： x-4x+3=-4,即 x2?4x?7?0
∵△=(－4)2－4×7=＋12<0，∴此方程无解。
∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
②当P2（1，2）时， S四边形AP2CE=SDACP2+SDACE=2+y
∴2y=2+y。∴y=2。
2∵点E在x轴下方，∴y=-2。代入得：x-4x+3=-2，即 x2?4x?5?0
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∵△=(－4)2－4×5=－4<0，∴此方程无解。
∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。
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（3）由（2）的两解分别作出判断。
9. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1． （1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）。 （2）解：∵正方形面积为3，∴AB=3。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。 ∴
S?BGEBE2 =()。 S?ABEAE2
2
2
又∵BE=1，∴AE=AB+BE=3+1=4。 ∴S?BGE=BE2AE2?S?ABE?133??。 428（3）解：没有变化。理由如下：
∵AB=3，BE=1，∴tan?BAE?13?3。∴∠BAE=30°。 3∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′， ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。 设BF与AE′的交点为H，
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