则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。 ∴S四边形GHE?B??S?AB?E??S?AGH?S?ABE?S?ABG?S?BGE。 ∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，
∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。
（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE
在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。
10. （2012湖南张家界12分）如图，抛物线y??x2?23x?2与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，3点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点． （1）分别求出点A．点B的坐标； （2）求直线AB的解析式； （3）若反比例函数y?k的图象过点D，求k值； x（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动
1个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最2大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
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【答案】解：（1）令y=0，即?x2? ∴C（?323x?2?0，解得x1=?，x2=23。
333，0）、A（23，0）。 3令x=0，得y=2。∴B（0，2）。 ∴A（23，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。
又∵点A（23，0）在直线上，∴0=k123+2，解得k1=?∴直线AB的解析式为y=?3。 33x+2。 3（3）由A（23，0）、B（0，2）得：OA=23，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=23。
∴D点的横坐标为OD·cos600=3，纵坐标为OD·sin600=3。 ∴D（3，3）。 ∵y?
kk
过点D，∴3?，即k=33。 x3（4）存在。
∵AP=t，AQ=∴S?OPQ111t，P到x轴的距离：AP?sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=23﹣t， 22211113132?（?23?t）?t??t2?t??（t?23）?。 2228282 37
?t?4 ?1?依题意， ? t?23， 得0＜t≤4。
?2t>0?? ∴当t=23时，S有最大值为
3。 2【考点】二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含300角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。
【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）。
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式。
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB
是含300角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的值，应用三角函数即可得到D点的坐标。
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，从而可得到点P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的
距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值。 11. （2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=于点M，直线l2与x轴相较于点N. （1） 求M，N的坐标；
（2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个 单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.
1x与直线l2：y=－x+6相交2 38
?1?x=4?y=x【答案】解：（1）解?2得?。∴M的坐标为（4，2）。
y?2???y??x?6 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。 （2）S与自变量t之间的函数关系式为：
?12?4t?0?t?1???1t?1?1 24?413??t+?5 4 （3）当0≤t≤1时，S的最大值为 313493?13?11 当4＜t≤5时，∵S=?t2+t?=??t??+， 4244?3?6∴S的最大值为 21113，此时t=。 363。 21 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。 21311 综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。 36 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过 【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。 【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。 39 （2）先求各关键位置，自变量t的情况： 起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2， t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。 ①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角 形的底为t，高为t，∴S=?t?t=t2。 ②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 12112214111?1111t?1+t?1=t?。 ???t?1?，下底为t，高为1。∴S=2???2?2422?2③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的 上底为 1?t?1?，下底为2，高为4??t?1?=5?t；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为t?4。 21?1131349?∴S=??t?1?+2???5?t?+??t +6+2???t?4?=?t2+t?。 2?22424?④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 6－t ，下底为7－t，高为1。∴S=113。 6?t+7?t?1=?t+??221249。 2⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角 形的底为7－t，高为7－t，∴S=??7?t???7?t?=t2?7t+（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。 28.12. （2012四川内江12分）如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=900，抛物线y?ax?bx?c经过A、B、C三点，其顶点为M. (1)求抛物线y?ax?bx?c的解析式； (2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明； 40 2212