2010数列
1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知?an?是首项为1的等比数列，sn是?an?的前n项和，且9s3?s6，则数列??1??的前5项和为( ) ?an?（A）
158或5 （B）31311516或5 （C）16 （D）8 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式． 【思路点拨】求出数列{an}的通项公式是关键． 【规范解答】选C．设a，则9?1?q31?q63n?qn?1?q?1?q?9(1?q)?1?q61， 1即9?1?q3?q3?8,?q?2，?an?1111?()5n?2?a?()n?1，?T5?2?31． n21?11622.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比q?2，Sn为{an}的前n项和．
记T17Sn?S2nn?a,n?N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0= ．
n?1【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识． 【思路点拨】化简Tn利用均值不等式求最值． n【规范解答】?Sa1[1?(2)n]]n?1?2,S[1?(2)22n?a11?2,an?1?a1(2)n,
17?a1[1?(2)n]1?2?a1[1?(2)2n]∴T1?2nn?an?11?2?[16(2)n?(2)?17],
1(2)∵
16(2)n?(2)n?8,当且仅当(2)2n?16即2n?16，所以当n=4，即n0?4时，T4最大．
【答案】4
3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0． 证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有
1
111n?????． a1a2a2a3anan?1a1an?1【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力． 【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性， 可采用数学归纳法或综合法．
【规范解答】已知数列?an?中的每一项都不为0，先证\?\ 若数列?an?为等差数列，设公差为d， 当d?0时，有
1111?(?)， anan?1danan?1?1111111111?????[(?)?(?)???(?)] a1a2a2a3anan?1da1a2a2a3anan?11111an?1?a1n[(?)]?? da1an?1da1an?1a1an?1111n?????成立； a1a2a2a3anan?1a1an?1?即对任何n?N，有
当d?0时，显然再证\?\
111n?????也成立． a1a2a2a3anan?1a1an?1?对任意n?N，有
111n?????①， a1a2a2a3anan?1a1an?11111n?1??????②， a1a2a2a3anan?1an?1an?2a1an?2由②-①得：
1n?1n?-
an?1an?2a1an?2a1an?1上式两端同乘a1an?1an?2，得a1?(n?1)an?1?nan?2③， 同理可得a1?nan?(n?1)an?1④，
由③-④得：2an?1?an?an?2，所以?an?为等差数列 【方法技巧】
1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见
2
的类型进行求和；
2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n?1或n?1得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn． （1）求an及Sn； （2）令bn?1*
(nN)，求数列?bn?的前n项和Tn． ?2a?1 n 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.
【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求an及Sn(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有
；
?a1?2d?7，解得a1?3,d?2， ?2a?10d?26?12n?1)=2n+1；Sn=3n+所以an?3?（（2）由（1）知an?2n+1，所以bn=
n(n-1)?2=n2+2n. 21111111===??(-)，
an2?1（2n+1)2?14n(n+1)4nn+1所以Tn=
n11111111， ?(1-+?+?+-)=?(1-)=4223nn+14n+14(n+1)n.
4(n+1)即数列?bn?的前n项和Tn=
【方法技巧】数列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比q?1的讨论.
2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.
3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
3
5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).
5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y?已知{rn}为递增数列. (1)证明：{rn}为等比数列；
（2）设r1?1，求数列{}的前n项和.
【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．
【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为(?n,0)，得?n?2rn，同理得?n?1?2rn?1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{rn}中rn?1与rn的关系，可证明{rn}为等比数列；
（2）利用（1）的结论求{rn}的通项公式，代入数列 【规范解答】
3x相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn?1相互外切，以rn表示Cn的半径，3nrnn，然后采用错位相减法求和. rn（1）将直线y=331x的倾斜角记为?,则有tan?=,sin??,332
1?sin??，得?n?2rn,?n2 rn设Cn的圆心为（?n，0），则由题意得知同理?n+1?2rn+1，
又
??n+1??n?rn?rn+1
，
将?n?2rn和?n+1?2rn+1，代入上式解得rn+1?3rn故?rn?为公比q?3的等比数列。
（?）由于rn?1，q?3，故rn?3n?1，从而n?n?31?n，rn
4
记Sn?12n??.....?,则有r1r2rn
Sn?1?2?3?1?3?3?2?......?n?31?nSn?1?3?1?2?3?2?......?(n?1)?31?n?n?3?n3
①?②,得2Sn1?3?n33?1?21?n?n?1?3?3?...?3?n?3??n?3?n??(n?)?3?n,23223
9139?(2n?3)?31?n1?n?Sn??(n?)?3?4224．
【方法技巧】
1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为n?1或n?1得到相关的式子，再进行化简变形处理；
2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和．
6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列是公差为d的等差数列．
（1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）；
（2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式Sm?Sn?cSk都成立。求证：
?S?n9c的最大值为．
2【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
【思路点拨】（1）先求Sn，然后利用an与Sn的关系求解；（2）利用（1）中所求Sn利用基本不等式解决．
Sn?【规范解答】（1）由题意知：d?0， S1?(n?1)d?a1?(n?1)d
2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3化简，得：
，
3[(a1?d)2?a1]?(a1?2d)2
a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2，
Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2
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