已知对任意整数k?M，当整数n>k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立 （1）设M=｛1｝，a2?2，求a5的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式。
【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)的转化从中找到解决问题的规律。 【精讲精析】由题设知，当n?2时，Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1)
即(Sn?1?Sn)?(Sn?Sn?1)?2S1，从而an?1?an?2a1?2，又a2?2， 故当n?2时，an?a2?2(n?2)?2n?2，所以a5的值为8. (2) 由题设知, 当k?M??3,4?,且n?k时，
Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)且Sn?1?k?Sn?1?k?2(Sn?1?Sk)，
两式相减得an?1?k?an?1?k?2an?1，即an?1?k?an?1?an?1?k?an?1，所以当n?8时，
an?6,an?3,an,an?3,an?6成等差数列，且an?6,an?2,an?2,an?6也成等差数列，
从而当n?8时，2an?an?3?an?3?an?6?an?6 (?)， 且an?2?an?2?an?6?an?6。
所以当n?8时，2an?an?2?an?2，即an?2?an?an?an?2，于是， 当n?9时，an?3,an?1,an?1,an?3成等差数列，
从而an?3?an?3?an?1?an?1，故由(?)式知2an?an?1?an?1，即an?1?an?an?an?1，当n?9时，设d?an?an?1，当2?m?8时，m?6?8，
从而由(?)式知2am?6?am?am?12，故2am?7?am?1?am?13，
从而2(an?7?an?6)?am?1?am?(am?13?am?12，于是am?1?am?2d?d?d。 因此an?1?an?d，对任意都n?2成立。
又由Sn?k?Sn?k?2Sn?2Sk（k??3,4?)可知(Sn?k?Sn)?(Sn?Sn?k)?2Sk， 故9d?2S3且16d?2S4。解得a4?
731d，从而a2?d，a1?d。 22211
因此，数列?an?为等差数列，由a1?1知d?2， 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1。
7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a2a6.
2（Ⅰ)求数列?an?的通项公式；
?1?（Ⅱ）设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??的前n项和.
?bn?【思路点拨】第（1）问可由2a1?3a2?1，a3?9a2a6联立方程组求得a1和公比q，从而求得an的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简bn，再用裂项相消的方法求数列{3221}的前n项和. bn22【精讲精析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?1. 911.由2a1?3a2?1得2a1?3a1q?1，所以a1?. 331n故数列{an}的通项式为an=().
3由条件可知an?0,故q?（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n)??n(n?1)2 .
故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1,
111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1.
所以数列{12n}的前n项和为?bnn?1.
11，公比q?. 338.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列{an}中，a1=（I）Sn为{an}的前n项和，证明：
Sn?1?an 2（II）设bn?log3a1?log3a2?????log3an，求数列{bn}的通项公式.
an然后证明等式Sn?【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出Sn、
1?an成立； 212
（2）利用对数的性质化简bn，即得{bn}的通项公式.
1?1?【精讲精析】（I）?an???3n?1?3???1????3?n，
Sn?1?1??1-n??3??3?11-31-?132n
?Sn?1?an 2（II）bn?log3a1?log3a2?????log3an
n(n+1) .2n(n+1)?数列bn的通项公式为bn=-. 2=-(1+2+3+...+n)=9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列?an}满足a1=b,a?n(1)求数列?an?的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n，2an ?b
ann?1nban?1(n≥2).
an?1?n?1+1
ban?1an1?bban?11?b【思路点拨】（1）把题中条件变形为n?1?1?n?1，构造成为n?1?1(n?1?1)，转化为等比数列，
b求得{n?1}的通项公式，进而求出{an}的通项公式.
an1?b（2）利用均值不等式证明.
【精讲精析】（1）【解】由已知得n?1?1?n?1（n?2，当b?1时，上式变形为：n?1?1(n?1?1)， ）anbban?1an1?bban?11?b111即数列{n?1}是以a?1?b?b(1?b)为首项，以1为公比的等比数列，由等比数列的通项公式
an1?bb1得：n?1?an1?b(1?b)nbn1(1)n?1?1，解得； a?nb(1?b)b1?bn(1?b)bnan?1an当b?1时，有n?n?1?1，即{n}是首项公差均为1的等差数列，则an?1.
an(b?1)?1 ?综上所述an??(1?b)nbn.
(b?0且b?1)?n?1?bn（2）【证明】方法一：当b?1时,(欲证2an?2nb(b?1)?bn?1?1,
nb?1
只需2nb?(bnn?1bn?1 ?1))b?1?(bn?1bn?1?1)?b2n?b2n?1???bn?1?bn?1?bn?2???1
b?1111???bn?bn?n?bn?1?n?1???b??
b?bb?13
?bn(2?2???2)?2nbn,
2nbn(b?1)?2an??1?bn?1. nb?1综上所述2an?bn?1?1.
方法二：由（1）及题设知: 当b?1时，bn?1+1=2=2an；
n当b?0且b?1时，1?1?bn?an(1?b)nb?bk?1nk?1nbn?1?b?b1k?1nn?kn，而
?b1k?1nn?kn(1)n?1?(1)n?2?????(1)1?(1)0n?1n?1(n?1)?(n?2)?????1?0111bbbb112?12n，， ?（）??()?()?n?1anbbnbbb2n?12b2即2an?，又bn?1?1?2bn?1?n?12b2，?2an?bn?1?1.
综上所述，对于一切正整数n有2an?bn?1?1.
10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设b?0数列?an?满足a1=b,an?求数列?an?的通项公式；
nban?1(n?2).
an?1?2n?2bn?1证明：对于一切正整数n,an?n?1?1
2n?1?2(n?1?1)n?2?n?1?1b?【思路点拨】（1）把题中条件变形为a，构造成为a2?bban?12?b，an?1nnn1转化为等比数列，求得a?2?b的通项公式，进而求出{an}的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.
n（2）利用均值不等式证明.
【精讲精析】（1）方法一：由已知得anan?1?(2n?2)anb?n?2?n?1?1， anan?1?nban?1，两边同除以anan?1，整理得
n12n?1?1)n1当b?2时有： a?2?b?b(a（n?2）令cn?a?2?b，则{cn}是以2?bnn?1n2c1?1?1?q?2为公比的等比数列.由等比数列通项公式得为首项，a12?bb(2?b)b 14
nnn?1n12222??cn?()?n，即a2?bbn(2?b) b(2?b)bb(2?b)n(2?b)nbn从而an?.
2n?bnn?nn?n?1?1n}{1当b?2时，有a，即a是首项与公差均为的等差数列，从而有a，得an?2. 2a2nn?1n2n?(b?2)综上所述a??2 n??(2?b)nbn?2n?bn (b?0且b?2)
方法二：（ⅰ）当b?2时，?b11n?是以2为首项，2为公差的等差数列， 即b1n?2?(n?1)?12?12n，∴an?2 （ⅱ）当b?2时，a2b22b2(b?2)3b33b3(b?2)1?b，a2?b?2?b2?22，a2?b2?2b?4?b3?23， 猜想anbn(b?2)n?bn?2n，下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，猜想显然成立；
kbk②假设当n?k时，a(b?2)k?bk?2k，则
a?(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?k?1a?2(n?1)?kbk(b?2)?2k?(bk?2k)?2)bk?1?2k?1， k所以当n?k?1时，猜想成立，
由①②知，?n?N*，anbn(b?2)n?bn?2n．
?2(b?2)综上所述a? n???(2?b)nbn?2n?bn (b?0且b?2)
）【证明】方法一：（ⅰ）当b?2时， a2n?1（2n?2?2n?1?1，故b?2时，命题成立；
（ⅱ）当b?2时，b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn，
b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn，
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