当n?2时，故所求
an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2．
，适合n?1情形．
an?(2n?1)d2（2）（方法一）
m2?n2c?Sm?Sn?cSk?m2d2?n2d2?c?k2d2?m2?n2?c?k2k2恒成立． ， m2?n292(m?n)?(m?n)?9k??2m?n?3k且m?nk2， 又，
2222c?故
992，即c的最大值为2．
a1?d及（方法二）由Sn?a1?(n?1)dSn?n2d2d?0，得，．
于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有
(m?n)229229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk222．
222所以c的最大值
cmax?92．
933m?k?1,n?k?12．设k为偶数，令22，则m,n,k符合条件，
a?另一方面，任取实数
331Sm?Sn?(m2?n2)d2?d2[(k?1)2?(k?1)2]?d2(9k2?4)222且．
k?21Sm?Sn?d2?2ak2?aSk2a?9时，2．
于是，只要9k?4?2ak，即当
22c?所以满足条件的
99cmax?2． 2，从而
9因此c的最大值为2．
7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，
*其公差为2k.
（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；
6
（Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
2232n23??????，证明?2n?Tn?（（Ⅲ）记Tn?. 2n?2）a2a3an2【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法． 【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n分奇数、偶数进行讨论．
【规范解答】（I）由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，
a6?a5?6?18。从而
a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列． a5a42（II）由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*
所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.
2由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k.
?n2?1n,n为奇数?n2??1??1?2?所以数列?an?的通项公式为an??2或写为an?，n?N*． 24?n,n为偶数??22（III）由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k，
以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
k2?2， 若m?1，则2n??ak?2kn若m?2，则
mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12kk?12k?k?1?nm?1?4k2?4k?1?1?11??? ?2m?????2m???2????? 2k?k?1??2?kk?1??k?1?2k?k?1?k?1?m?122 7
?2m?2?m?1??1?2??1?1?m???2n?32?1n. n所以2n??k23?1，从而3n?2n?k?2a?k2??2,n?4,6,8,.... k2n2k?2ak（２）当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?．
?nk22m22?k2??2m?1??4m?3?1??2m?1? k?2a?kk?2aka2m?122m2m?m?1??4m?12?12?m?1??2n?32?1n?1 n所以2n??k2313nk2???2,n?3,5,7,....k?2ak2n?1，从而2?2n??k?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有
32?2n?Tn?2. 8
2011数列 一、选择题
1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知数列 {an}的前n项和sn满足：sn+sm=sn?m，且a1=1，那么a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【思路点拨】
结合sn?sm?sn?m，对m,n赋值，令n?9,m?1,即得S9?S1?S10,即得a10?1.【精讲精析】选A.
?sn?sm?sn?m?令n?9,m?1,即得S9?S1?S10,即S1?S10-S9=a10=1，?a10=1.n
2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列?an?的通项公式是an=(-1)(3n-2),则a1?a2?…?a10? （A）15 (B)12 （C）?12 (D) ?15 【思路点拨】观察数列?an?的性质，得到a1?a2?a3?a4???a9?a10?3. 【精讲精析】选A. a1?a2?a3?a4???a9?a10?3.故a1?a2???a10?15. 二、填空题
3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q满足的关系式，求得其最小值。 【精讲精析】答案：33 由题意：1?a1?a2?a1q?a2?1?a1q2?a2?2?a1q3，
a2?2的最
?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2q3?a2?2?3，而?a2?1,a1?1,?a2,a2?1,小值分别为1，2，3；?qmin?33。
4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列?n(n?4)()?中的最大项是第k项，则k=_______________.
??2n?3??ak?ak?1【思路点拨】可由不等式组?解得.
a?ak?1?k【精讲精析】答案：4设最大项为第k项，则由不等式组?
?ak?ak?1得
?ak?ak?19
kk?1?22????2??k(k?4)???(k?1)(k?5)??k(k?4)?(k?1)(k?5)?????3??3?3,即?,解得10?k?10?1,故?kk?12?k(k?4)??(k?1)(k?3)?2??2??k(k?4)?(k?1)(k?3)??????3??3??3??k?4.
三、解答题
5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an?lgTn，n?1 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设bn?tanan?tanan?1,求数列?bn?的前n项和Sn.
【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.
【精讲精析】（Ⅰ）设这n+2个数构成的等比数列为cn，则c1?1,cn?2?100，则
qn?1?100，q?1001n?1，又Tn?c1?c2??cn?2?1?q?q??q2n?1?q(n?1)(n?2)2
所以 an?lgTn?lgq(n?1)(n?2)2?lg100n?22?n?2,n?1.
（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知
bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.
另一方面，利用
tan1?tan?(k?1)?k??tan(k?1)?tank,
1?tan(k?1)?tank得 tan(k?1)?tank?所以
tan(k?1)?tank?1.
tan1Sn??bk??tan(k?1)?tankk?1k?3nn?2?tan(k?1)?tank?????1?tan1?k?3?tan(n?3)?tan3??n.tan1n?2
6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，
10