5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分） 已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8. （1） 求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列{an}的前n项和.
【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公差,再代入求解. 【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2?a1?d,a3?a1?2d，由题意知??3a1?3d??3?a1(a1?d)(a1?2d)?8解得
?a1?2?a1?-4或?，故等差数列{an}的通项公式为：an??3n?5或an?3n-7. ?d??3d?3??（2）当an??3n?5时，a2,a3,a1分别为-1，-4，2不是等比数列，所以an?3n-7 当n=1时，数列{an}的和为：S1=4；当n=2时，数列{an}的和为：S2=4+1=5；当n?3时， Sn= -a1-a2+a3?a4?...?an?(a1?a2?...?an)?2s2=-4n+当n=2时,符合上式，所以
n(n-1)311?3?10?n2?n?10 2224,n?1??sn??3211
n?n?10,n?2??226.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an?1与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用
m表示）.
【解题指南】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出an?1与an的关系式an?1?3an?d，第二问，只要把第一问中的2an?1?
3an?d迭代，即可以解决. 231
【解析】（Ⅰ）由题意得a1?2000(1?50%)?d?3000?d，
35a1?d=4500-d，
223an?1?an(1?50%)?d?an?d.
23（Ⅱ）由（Ⅰ）得an?an?1?d
233?(an?2?d)?d 2233?()2an?2?d?d 22a2?a1(1?50%)?d???
33?33??()n?1a1?d?1??()2???()n?2?. 22?22?整理得 an?()n?1(3000?d)?2d?()n?1?1?
32?3?2??3?()n?1(3000?3d)?2d. 23由题意，an?4000,?()n?1(3000?3d)?2d?4000,
2?3n?()?2?1000??1000(3n?2n?1)2??解得d?. ?nn3n3?2()?121000(3n?2n?1)故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m?3)年企业的剩余资金为４０００万元. nn3?27.（2012·江苏高考·Ｔ20）（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：
an?1?an?bnan2?bn2，n?N?．
2????b??nbn?????bn?1?1?，n?Nan??an???是等差数列； （1）设，求证：数列?bn?1?2?（2）设
bn，n?N?an，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
an?1?【解题指南】（1）根据题设
an?bnan?bn22bn?1和
?b?bbn?1?1??n??1?nan，求出an?1?an?，从而证明
32
2
?bn?1??bn???????1a?n?1??an?而得证。
1
22an?bnan?bn22?2，用反证法证明等比数列{an}的公比q=1.从而得到
an?a1?n?N*?bn?1?2?的结论，再由
bn22=?bnana1a知{bn}是公比是1的等比数列.最后用反证法求出
a1=b2=2.
an?1?an?bnn?12ban2?bn2=bn?1?1?bn1???bn?【解析】（1）∵
an，∴
?a?n?。
b2n?1?1???bn? ∴ an?1?a?n?. ?b?2?b2?2?22?n?1n???∴ ?a???a??bn??1?????bn???????1?n?N*?n?1??n???an????an? .
????b2n ∴数列
??????a???n???是以1 为公差的等差数列. ?a2n?bn?2（2）∵an>0，bn>0a2<，∴
2?n?bn?an?b2n?。
1
设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1
2若q>1,a1=a则
qlog22?q，∴当a1时，an?1?a1qn>2，与（﹡）矛盾. aa1=2若0 q>a>1n>log12q，∴当a1时， an?1?a1qn<1，与（﹡）矛盾. ∴综上所述，q=1。∴ an?a1?n?N*?，∴1 a=a?bnn1?n?N*?，∴{bn}是公比是 a1的等比数列. 33 2>1a若a1?2，则1，于是b1 an?1?又由 an?bnan?bn22a1?即 a1?bna12?bn2bn=，得 a1?a122?a12a12?1. ∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1 bn=∴ 2????2?222?2??22=2. ?1∴ a1=b2=2. 8.（2012·广东高考理科·Ｔ19）（本小题满分14分） an??2Sn?an?1?2n?1?1,n?N?,a1,a2?5,a3设数列的前n项和为S，满足且成等差数列。 n （1） 求a1的值； （2） 求数列 ?an?的通项公式. 1113?????aa2an2. （3） 证明：对一切正整数n，有1【解题指南】(1)根据n=1，从而得到立可解出 2Sn?an?1?2n?1?1,利用 n?1时,an?Sn?Sn?1a1,a2?5,a3,可得到 an?1?3an?2n,n?2,令 a3?3a2?4,2a1?a2?3,再根据成等差数列得 2a2?10?a1?a3,三个方程联 a1. an?1an12n?n??(),n?2n?1n?1an?1?3an?2,n?233333(2)在（1）的基础上对的两边同除以得, nan?1an12na2a1512?????n??()21n?1339393333对n?1都成立， 再验证：也满足上式，因而ann{a}然后再利用叠加求和的方法确定3,进而确定n的通项公式. (3)解本题的关键是当n?3时， 012n?1nan?3n?2n?(1?2)n?2n?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?2n?2n 012n?1012?Cn?Cn?2?Cn?22???Cn?2n?1?Cn?Cn?2?Cn?22?1?2n2?n2?1?n2?n2?2n 34 1a?11112?(?)nn?2n2nn?2，然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可. n?1【解析】（1） ?2Sn?an?1?2?1, n?2时,2Snn?1?an?2?1, 两式相减得 an?1?3an?2n ?a3?3a2?4,2a1?a2?3, 又 ?a1,a2?5,a3成等差数列， ?2a2?10?a1?a3 即 4a1?16?a1?6a1?13, ?a1?1. (2)由（1）得 a2?5, n?2?3an时，an?1n?2 两边同除以3n?1得 an?13n?1?an12n3n?3?(3) a2又?n?1时，32?a151231?9?3?9,也满足上式， an?1?n?1?ann?13?(23)n时，3n?13， ?an3n?a1a2a1a3a2anan?13?(32?31)?(33?32)???(3n?3n?1). 1?(2)n?11222133?3[3?(3)2???(3)n?1]?3??1?(2)n1?233 ?ann?3?2n。 1?31113(3)当n=1时，a1?12a??1??;当n=2时，1a252. 35