??,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn，以上n个式子相加得
b2n?b2n?1?2???bn?1?2n?1?bn?1?2n?1???b?22n?1?22n?n?2n?1bn，
n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2) an?n?1n?2(b?2n)2n?1(bn?2n)(b2n?b2n?1?2???b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2) ?2n?1(bn?2n)(b2n?1?22n?1)?bn?1?2n?bn?2n?1 ?n?1nn2(b?2)(b2n?1?bn?1?2n)?(bn?2n?1?22n?1)bn?1??n?1?1．故当b?2时，命题成立；
2n?1(bn?2n)2综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
bn?1方法二：由（1）及题设知: 当b?2时，n?1?1?2?an
2nn当b?0且b?2时，1?2?b?ann(2?b)bnn?k2n?1b2n?2b21b?2k?1nn?kbk?1nbn1n2n?kbk?11n2n?k????nbk?1bn?1nbk?1bn?k(n?1)?(n?2)???1?02n?kn?k1?k?1b?; bnn而1?2?()nk?1bn?k11?2????anb?b?n?12n?()??()?()?2??n??n?b?20b?2?????b?n?12
n?12?1?2????2?b?n?12b? ，即an?2????2?n?1n?12b?，又bn?1?1?2bn?1?2???22?2?n?1n?1
综上所述：对于一切正整数n,an?bn?1?1.
211.（2011·山东高考理科·Ｔ20）（本小题满分12分）
等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行
第一列 3 6 第二列 2 4 第三列 10 14 16
第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前n项和Sn.
n【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知a1?2,a2?6,a3?18.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（Ⅱ）由题意易知数列?bn?为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论
【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知a1?2,a2?6,a3?18，公比q?a2a?a3?3， 1a2通项公式为an?1n?2?3；
（bnn?1n?an???1?lnan?2×3?(?1)nln2×3n?1?2×3n?1?(?1)n[ln2?(n?1)ln3]Ⅱ）
当n?2k(k?N*)时，Sn?b1?b2???b2k
?2(1?3???32k?1)?[1?(?2?3)???(?(2k?2)?(2k?1))]ln3?2×1?32k1?3?kln3?3n?1?n2ln3
当n?2k?1(k?N*)时Sn?b1?b2???b2k?1
?2(1?3???32k?2)?[(1?2)???((2k?3)?(2k?2))]ln3?ln2
2×1?32k?1?(n?1)1?3?(k?1)ln3?ln2?3n?1?2ln3?ln2
?3n?1n故S???2ln3,n为偶数；n?????3n?1?(n?1)
2ln3?ln2，n为奇数.nnn另解：令Tn??(?1)nln2×3n?1，即Tn?2?1?(?1)nln1?(?1)n(n?1)ln3
1Tn?[?1?(?1)2???(?1)n]ln2?[(?1)2?1?(?1)3?2???(?1)n?(n?1)]ln3 ?Tn?[(?1)2?(?1)3???(?1)n?1]ln2?[(?1)3?1?(?1)4?2???(?1)n?1?(n?1)]ln3
则2T1n?[?1?(?1)n?]ln2?[(?1)2?(?1)3???(?1)n?(?1)n?1(n?1)]ln3
17
11(?1)2?(?1)n?1n?1Tn?[?1?(?1)]ln2?[?(?1)n?1(n?1)]ln3
22211Tn?[?1?(?1)n?1]ln2?[(?1)2?(?1)n?1(2n?1)]ln3
24故Sn?b1?b2???bn?2(1?3???3n?1)?Tn
11?3n?1?[?1?(?1)n?1]ln2?[(?1)2?(?1)n?1(2n?1)]ln3.
2412.（2011·山东高考文科·Ｔ20）（本小题满分12分）
等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn=an?(?1)lnan，求数列?bn?的前2n项和S2n.
n【思路点拨】（I）由题意易知a1?2,a2?6,a3?18.由等比数列的通项公式写出数列.（II）由题意易知数列?bn?为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n项和.
【精讲精析】（Ⅰ）由题意知a1?2,a2?6,a3?18,因为?an?是等比数列,所以公比为3,所以数列?an?的通项公式an?2?3n?1.
nn?1（Ⅱ）bn=an?(?1)lnan=2?3?(?1)[ln2?(n?1)ln3]
n=2?3n?1?(?1)nln2?(?1)n(n?1)ln3,
所以
S2n?(2?30?2?31?2?32??2?32n?1)?[(?1)1?(?1)2???(?1)2n]ln2?[(?1)1?0?
(?1)2?1?(?1)3?2???(?1)2n?(2n?1)]ln32(1?32n)??(?1?1?1?1???1?1)ln2?[0?1?2?3?4???(2n?2)?2n?1]ln3
1?3
18
=9?1+0?ln2?nln3?9?1?nln3
13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10
（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列?nn?an?的前n项和． n?1??2?【思路点拨】(Ⅰ)先求首项a1和公差d，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和． 【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d， ??a1?d?0,?2a1?12d??10,由已知条件可得??a1?1,故数列?an??d??1.的通项公式为 an?2?n. ……5分 （Ⅱ）设数列?ana2?an?SS的前项和为，即=a????,故S1=1， n?nn1n?1n?1222??Sna1a2aSnan?an?1ana2?a1.所以，当＞1时，=-n ?????na????n1nn?122422222=1?(?12112?n12?nnn??n?1)?n=1?(1?n?1)?n=n，所以Sn=n?1 4222222n?an?S的前项和=. ……12分 n?nn?1n?12?2?综上，数列?14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若数列An:a1,a2,...,an(n?2)满足ak?1?ak?1(k?1,2,...,n?1)，则称数列An为E数列，记S(An)=a1?a2?...?an.
（Ⅰ）写出一个满足a1?a5?0，且S(A5)>0的E数列A5；
（Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S?An?=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由.
【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.
【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列A5. （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列A5）
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（Ⅱ）必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak?1?ak?1(k?1,2,?,1999). 所以An是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000?12?(2000?1)?1?2011. 充分性：由于a2000?a1999?1，a1999?a1998?1，……，a2?a1?1， 所以a2000?a1?1999，即a2000?a1?1999. 又因为a1?12,a2000?2011，所以a2000?a1?1999. 故ak?1?ak?1?0(k?1,2,?,1999)，即An是递增数列. 综上，结论得证.
（Ⅲ）令ck?ak?1?ak(k?1,2,3,?,n?1)，则ck??1.
因为 a2?a1?c1,a3?a1?c1?c2，……，an?a1?c1?c2???cn?1， 所以S(An)?na1?(n?1)c1?(n?2)c2?(n?3)c3???cn?1
?(n?1)?(n?2)???1?[(1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)???(1?cn?1)]
?n(n?1)?[(1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)???(1?cn?1)] 2因为 ck??1，所以1?ck为偶数(k?1,2,?,n?1). 所以(1?c1)(n?1)?(1?c2)(n?2)???(1?cn?1)为偶数. 所以要使S(An)?0，必须使
n(n?1)为偶数， 2*即4整除n(n?1)，亦即n?4m或n?4m?1(m?N)
当n?4m(m?N)时，E数列An的项满足a4m?1?a4m?3?0,a4m?2??1,a4m?1 (k?1,2,?,m)时，有
*a1?0,S(An)?0；
当n=4m+1(m?N)时，E数列An的项满足a4m?1?a4m?3?0,a4m?2??1,a4m?1 (k?1,2,?,m)时，有
*a1?0,S(An)?0；
当n=4m+2或n=4m+3(m?N)时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a1?0,S(An)?0. 15.（2011·北京高考文科·T20）(13分)若数列An?a1,a2,...,an(n?2)满足ak?1?ak?1(k?1,2,...,n?1)，则称An为E数列.记S(An)=a1?a2?...?an.
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*