【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，代入公式即可求解，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。
【精讲精析】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d,由(21211)??, a2a1a4 得(a1?d)2?a1(a1?3d)。从而a1d?d 因为d?0,所以d?a1?a 故通项公式an?na. （Ⅱ）解：记Tn?111??...,因为a2n?2na， a2a22a2n11(1?())n111112?1[1?(1)n]. Tn?(?2?...?n)?.21a222aa21?2所以，当a＞0时，Tn?11；当a＜0时，Tn?． a1a121.（2011.天津高考理科.T20）已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+23+(-1)n， =0,bn=2n?N*，且a1=2,a2=4．
（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；
（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：{cn}是等比数列；
*（III）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N，证明：【思路点拨】
*Sk7?(n?N*) ?6k?1ak4n（1）bn的通项公式是常数，对n取值代入bnan+an+1+bn+1an+23+(-1)n=0,bn=求值；
2cn+1（2）由Cn的关系式，构造cn是常数；
（3）由（2）求出a2k的通项，得到S2k的通项公式，再求和、放缩证明。
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?1,n为奇数3?(?1)n*【精讲精析】 （I）【解析】由bn?可得bn??，又bnan+an+1+bn1+a2n+=0, ,n?N ，
2?2,n为偶数当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;
当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4=4.（II）证明：对任意n?N*,
a2n-1+a2n+2a2n+1=0, ① 2a2n+a2n+1+a2n+2=0 ② a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,
③ ②—③，得
a2n=a2n+3.
④
将④代入①，可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1) 即cn?1??cn(n?N*) 又c1?a1?a3??1,故cn?0, 因此
cn+1c=-1,所以{cn}是等比数列. n（III）证明：由（II）可得a+ak2k-12k+1=(-1). 于是，对任意k?N*且k?2，有
a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,
?(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.将以上各式相加，得ak1?(?1)a2k?1??(k?1), 即a?12k?1?(?1)k(k?1)，
此式当k=1时也成立.由④式得ak?12k?(?1)(k?3).
从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)???(a4k?2?a4k)??k,
S2k?1?S2k?a4k?k?3.
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所以，对任意n?N*,n?2，
?4nSnk?S4m?3S4m?2S4m?k?1a?(?1S4mkm?1a4m?3a??) 4m?2a4m?1a4mn??(2m?22m?12m?32m?12m?2m?2?2m?1?m2m?3) n??(23m?12m(2m?1)?(2m?2)(2m?2))
?2n532?3??1)? m?22m(2m?(2n?2)(2n?3)?1n533??(2m?1)(2m?1)? m?2(2n?2)(2n?3)?15111113?2?[(3?5)?(5?7)???(132n?1?2n?1)]?(2n?2)(2n?3)?1553?6?2?12n?1?3(2n?2)(2n?3)
?76.对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N*,
S1?S2???S2n?1?S2na 1a2a2n?1a2n?(S1?S2)?(S3?S4)???(S2n?1?S2na) 1a2a3a4a2n?1a2n?(1?14?112)?(1?121n42?42?(42?1))???(1?4n?(4n?1)) ?n?(14?112)?(14?21n242(42?1))???(4n?4n(4n?1))
?n?(114?12)?n?13.
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2012数列 一、选择题
1. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ12）数列{an}满足an+1＋(－1) an ＝2n－1，则{an}的前60项和为（ ） （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】选D.
n?an?1???1?an?2n?1n，
，
，
?a2?1?a1,a3?2?a1,a4?7?a1,a5?a1,a6?9?a1,a7?2?a1,a8?15?a1,a9?a1a10?17?a1,a11?2?a1,a12?23?a1…，
a57?a1，
a58?113?a1，
a59?2?a1，
a60?115?a1
?a1?a2?…?a60??a1?a2?a3?a4???a5?a6?a7?a8??…+?a57?a58?a59?a60?15??10?234??1830.
?10?26?42?…+234＝
二、填空题
2a???1??a?2.（2012·新课标全国高考理科·T16）数列n满足n?1nan=2n-1，则前60项和为
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和. 【解析】
?an?1???1?an?2n?1n，
，
，
?a2?1?a1,a3?2?a1,a4?7?a1,a5?a1,a6?9?a1,a7?2?a1,a8?15?a1,a9?a1a10?17?a1,a11?2?a1,a12?23?a1…，
a57?a1，
a58?113?a1，
a59?2?a1，
a60?115?a1
?a1?a2?…?a60??a1?a2?a3?a4???a5?a6?a7?a8??…+?a57?a58?a59?a60?15??10?234??1830.
?10?26?42?…+234＝
【答案】1830.
23. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
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将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项； （Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）
【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法，解答本题可先根据数列{an}前项与后项的关系，求出数列{an}的通项，再结合数列{bn}与{an}的关系求出数列{bn}的通项解答本题. 【解析】由图可知数列{an}满足:a1=1,an-an-1=n(n≥2).
所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=错误！未找到引用源。(n≥2),当n=1时,也符合上式,则an=错误！未找到引用源。.
当n=4,5,9,10,14,15,19,20,…时,构成数列{bn}的第1,2,3,4,…项, 则可以看出n=5,10,15,20,…时,分别对应着{bn}的第2,4,6,8…项. (1)b2012是数列{an}中的第5030项; (2)b2k-1=错误！未找到引用源。.
【答案】(1)5030 (2)错误！未找到引用源。.
4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）对于n?N?，将n表示为n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,当i?k时ai?1，当0?i?k?1时ai为0或1，定义bn如下：在n的上述表示中，当a0,a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@] （1）b2+b4+b6+b8=
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 【解题指南】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.本题实际是描述的将一个十进制的数转化为二进制，然后找出规律.
【解析】（1）观察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1；
10210一次类推3?1?2?1?2,b3?0；4?1?2?0?2?0?2,b4?1；
5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0，b7?1,b8?1，
b2+b4+b6+b8=３；
（2）由（1）知cm的最大值为２. 【答案】（1）3 （2）2. 三、解答题
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