（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1?as?0
（Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011； （III）在a1?4的E数列An中，求使得S(An)?0成立的n的最小值.
【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）利用E数列的定义找出前面几项的和与0的关系，再求n的最小值.
【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列A5. （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak?1?ak?1(k?1,2,??1999). 所以An是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000?12?(2000?1)?1?2011. 充分性：由于a2000?a1999?1，a1999?a1998?1，……，a2?a1?1， 所以a2000?a1?1999，即a2000?a1?1999. 又因为a1?12,a2000?2011，所以a2000?a1?1999. 故ak?1?ak?1?0(k?1,2,?,1999)，即An是递增数列. 综上，结论得证.
（Ⅲ）对首项为4的E数列An由于a2?a1?1?3,a3?a2?1?2,?,a8?a7?1??3，… 所以a1?a2???ak?0(k?2,3?,8).
所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)?0，则必有n?9. 又a1?4的E数列An：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足S(An)?0， 所以n的最小值是9.
16.（2011·湖南高考文科T20）（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. （Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式； （2）设An?
a1?a2???an.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.证明：
n21
须在第9年初对M更新.
【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立数列模型是关键. 【精讲精析】
（I）当n?6时，数列{an}是首项为120，公差为?10的等差数列． an?120?10(n?1)?130?10n; 当n?6时，数列{an}是以a6为首项，公比为 an?70?()3为等比数列，又a6?70，所以 434n?6;
?120?10(n?1)?130?10n,n?6?因此，第n年初，M的价值an的表达式为an?? 3n?6an?70?(),n?7??4(II)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1?n?6时，Sn?120n?5n(n?1),An?120?5(n?1)?125?5n;
333Sn?S6?(a7?a8???an)?570?70??4?[1?()n?6]?780?210?()n?6444当n?7时， 3n?6780?210?()4An?.n因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又
33780?210?()8?6780?210?()9?6477944A8??82?80,A9??76?80,
864996所以须在第9年初对M更新．
17.（2011·江西高考文科·Ｔ21）（1）已知两个等比数列?an?，{bn}，满足
a1?a?a?0?,b1?a1?1,b2?a2?2,b3?a3?3，若数列?an?唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列，?an?，{bn}使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公差不为0的等差数列？若存在，求 ?an?，{bn} 的通项公式；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）先将b1,b2,b3用等比数列?an?的首项和公比表示出来，再根据b1,b2,b3成等比数列，可得a 22
和q的关系式，再根据数列{an}的唯一性，知q必有一个值为0，代入可得a的值。(2)将 a1,a2,a3,b1,b2,b3全部用首项和公比表示出来，再根据它们四个成等差数列，结合等差数列的性质可得a1,q1,b1,q2之间的关系，通过消参可得
，即q1?q2或q1?0，经讨论可得两者都不符合题意。
【精讲精析】解：（1）?an?要唯一，?当公比q1?0时，由b1?1?a?2,b2?2?a2,b3?3?a3且
b2?b1b3??2?aq1?2??1?a??3?aq12??aq12?4aq1?3a?1?0，
2?a?0，?aq12?4aq1?3a?1?0最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
??4a??4a?3a?1??0?4a?a?1??0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
2?当公比q1?0时，等比数列?an?首项为a，其余各项均为常数0，则an唯一，此时由?2?aq1?2??1?a??3?aq12??aq12?4aq1?3a?1?0，可推得3a?1?0,a?综上：a?1符合 31。 3（2）假设存在这样的等比数列?an??,bn?,公比分别为q1，q2，则由等差数列的性质可得：
?b2?a2???b3?a3???b1?a1???b4?a4?，整理得：?b1?b3??q2?1???a1?a3??q1?1?
要使该式成立，则q2?1=q1?1?0?q1?q2?1或b1?b3?a1?a3?0此时数列b2?a2，b3?a3公差
,bn?。 为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列?an??18.（2011天津高考文科T20）已知数列{an}与{bn}满足
bn?1an?bnan?13?(?1)n?1?(?2)?1,bn?,n?N*,且a1?2.
2n （Ⅰ）求a2,a3的值；
（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明{cn}是等比数列； （Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明
*SSS1S21????2n?1?2n?n?(n?N*). a1a2a2n?1a2n3n【思路点拨】（1）bn的通项公式是常数，对n取值代入bn+1an+bnan+1=(-2)+1求值；
23
cn+1（2）由Cn的关系式，构造cn是常数；
由（2）求出a2k的通项，得到S2k的通项公式，再求和、放缩证明.
?2,n为奇数,3?(?1)n?1【精讲精析】 （Ⅰ）【解析】由bn? ,n?N*可得bn??2?1,n为偶数,
又bn+1an+bnan+1=-2()n+1，
当n=1时,a1+2a2=-1,由a1=2,可得a2=-当n=2时,2a2+a3=5,可得a3=8.
*3; 2 （Ⅱ）证明：对任意n?N
a2n-1+2a2n=-22n-1+1 ① 2a2n+a2n+1=22n+1 ②
2n?1,即cn?3?22n?1,于是②-①，得a2n?1?a2n?1?3?2
cn?1?4.所以{cn}是等比数列. cn*（Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k?N且k?2时，
a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3)
?2?3(2?2?2???2故对任意k?N,a2k?1?2由①得22k?1*352k?32(1?4k?1))?2?3??22k?1
1?4
2k?1.
1?22k?1,k?N* 2k因此，S2k?(a1?a2)?(a3?a4)???(a2k?1?a2k)?.
2k?12k?1于是，S2k?1?S2k?a2k??2.
2k?12k?1k?2S2k?1S2kk?1?22kk1k22故??????1??. 2k?12k2kkkk1a2k?1a2k222?144(4?1)?22k?12?2a2k??22k?1?1,所以a2k?19.（2011·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列?an?的首项a1为a（a∈
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R），设数列的前ｎ项和为Sn，且
111,,成等比数列。 a1a2a4（Ⅰ）求数列?an?的通项公式及Sn； （Ⅱ）记An＝大小．
【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。
【精讲精析】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d,由(11111111???+++…+，Bn ＝+ + ，当n≥2时，试比较An与Bn的
a2n?1S1S2S3a1a2a22Sn1211)??, a2a1a4 得(a1?d)?a1(a1?3d)。因为d?0,所以d?a1?a 所以an?na,Sn?（Ⅱ）解：因为
2an(n?1)， 21211?(?), Snann?1 所以An?111121???...??(1?). S1S2S3Snan?1n?1因为a2n?1?2a,所以
11?()n111112?2(1?1). Bn????...?.a1a2a22a2n?1a1?1a2n211n012n当n≥2时，2?Cn?Cn?Cn?...Cn?n?1，即1??1?n,
n?12所以，当a＞0时，An?Bn；当a＜0时，An?Bn。 20.（2011·浙江高考文科·Ｔ19）（本题满分14分） 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a?R),且（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对n?N，试比较
*111,,成等比数列。 a1a2a411111???...?,与的大小． a2a22a23a2na125