《量子力学II》
第一章、量子力学的数学工具 §1.1态矢量 §1.2态空间上的算符 §1.3表象和基底
§1.4薛定谔绘景和海森堡绘景 §1.5直积空间
第二章、量子力学的原理 §2.1体系的状态 §2.2物理可观察量 §2.3量子化规则 §2.4力学量的测量 §2.5概率密度和概率流 §2.6不确定关系
§2.7多粒子体系和全同粒子体系 第三章、轨道角动量和自旋 §3.1角动量的一般概念 §3.2轨道角动量和自旋角动量 §3.3角动量算符
第四章、量子力学中的若干可解问题 §4.1量子力学问题的一些基本问题 §4.2一维定态问题 §4.3其它一些可解问题 第五章、定态微扰论 §5.1定态微扰论 §5.2定态微扰计算 第六章、变分法 §6.1Ritz变分法 §6.2试探波函数的选取 第七章、量子跃迁
II》教案 第 1 页《量子力学
§7.1哈密顿的突然改变 §7.2非定态问题中的量子跃迁 §7.3电偶极跃迁 第八章、弹性散射 §8.1基本概念 §8.2散射截面的计算
第一章、量子力学的数学工具
§1.1态矢量 §1.1.1基本概念
描述物理体系状态的态矢量（简称态矢或右矢）构成一个特殊的矢量空间，简称态空间。态空间?也是希耳伯特空间，在其上定义了任意两个矢量?与
?之间的标积??，标积是满足如下关系的复数：
?????*
??????????
???????
??是非负实数，当且仅当??0时才为零。
?是任意复数，?是和右矢其中，
?厄米共轭的左矢：??????，??????。???????，
?????。
在进行态矢的一般运算时，除了矢量空间的基本性质外，常常利用态矢的标积来把矢量的运算转化为数的运算或把左矢的运算转化为右矢的运算。 §1.1.2例题：态矢量的性质和运算
例一、仅从矢量空间的角度来看，态矢应具有哪些基本性质?求证：?1?1??2?2解(1)作为矢量空间的元素，态矢应满足如下关系：
???1*?1??2*?2
???????
??(???)?(???)??
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存在唯一的矢量0，使得对于任何态矢?，都有：??0?若?为任意复数，则?(???
?)??????
(?1??2)???1???2?
?1(?2?)?(?1?2)?
1??? 0??0
(2)因对任意态矢?，我们有：
?1?1??2?2????1?1??2?2*
?(?1??1??2??2)*??1*??1*??2*??2* ??1*?1???2*?2??(?1*?1??2*?2)?
故?1?1??2?2??1?1??2?2例二、求右矢?uv???1*?1??2*?2
?v??的厄米共轭。 ?及算符?uA解：注意到下述对偶法则是方便，为了得到一个由常数、右矢、左矢和算符组成的表达式
的厄米共轭式，可用：
共轭复数用
数去代替原表达式中的
对应的右矢对应的左矢左矢右矢算符
对应的厄米共轭算符并且要反转因子的次序（只有常数因子的次序才无关紧要）。 故本题中，它们的厄米共轭应分别为：
?*?vu
??u ?*??vA例三、若
?1和?2是态空间?中任意二个矢量，求证?1?22??1?1?2?2,当且仅当
?1与?2成比例时，等号成立。
证：令???1???2，则：0?????1?1???1?2??*?2?1???*?2?2
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取????2故?1?22?1/?2?2,代入上式得：?1?1???1?1?2?2
?1?2?2?1?0
?2?2由上面知，当且仅当即
???0时，不等式中的等号成立，而这充要条件等价于??0，
?1????2
§1.2态空间上的算符 §1.2.1基本概念
?，任何运算符号A若能将态空间?上的每一个右矢?与该空间上的另一个右矢?称为?上的算符。 则A??联系起来，??A?称为线性算符，如果对任意两个右矢?和?以及任意复数?和?有: ?上的算符A1212?(?????)??A??A11221?1??2A?2
作用于左矢
?上的算符如下定义为：
?)???(A??)??A?? (?A下面给出线性算符的一些基本运算和定义：
??B???B?)??A?? 算符的和：(A?B?(B?)??A??) 算符的积：(A?,B?B? ?]?A??B?A对易子：[A?的厄米共轭算符A??：?A?????A??* A??A?? ?：A厄米算符A?A??（若存在的话）逆算符A：A?1?1??1A??1 ?A? ?U???U??U??1?：U幺正算符U?的函数F(A?)：若变数z的函数F(z)，能在一定的定义域中展成z的幂级数： 算符AF(z)??fnzn
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?)为： 则可定义（若有意义的话）F(A?)??n F(A?fnAn?0???例四、已知Lz??，其中方位角?满足??????。显然： i??????????i? i??i???的归一化本征函数?m(?)?等号两边在Lz2?1exp[im?]中求矩阵元 2??d?01????1exp[im'?](???)exp[im?]?i??m'm 2?i??i??2?等号左边第一项
2?1??d?exp[im'?]??2?i??011exp[im?]?m???exp[i(m?m')?] 2?2?02??是厄米算符，满足： 因为Lz??*Lz?d???(Lz?)*?d?
所以等式左边第二项
2????d?02?01??1exp[im'?](?)?exp[im?]2?i??2???i??11exp[im'?])*?exp[im?] 2?2????d?(2???m'??d?011exp[?im'?]exp[im?]2?2?因此等式成为：
2?(m?m')??d?011exp[?im'?]exp[im?]?i??m'm 2?2?如果m?m'，则导致i??0这一荒谬结论。请对以上运算作出评论。
解：以上运算中，错误的运用了厄米算符的定义式，从而使得等号左边第二项中的运算产生了错误的
??d??(L??)*?d?中，波函数?，?必需满足恰当的边界条件，例如结果。事实上，在关系式?*Lzz??《量子力学II》教案 第 5 页