它把坐标表象r?。 ?相联系（见第1.3.6节）???和动量表象?p?有形成完全例二十三、（1）证明算符的迹（定义为表示算符的矩阵的迹）与表象的选取无关。（2）算符Q??集的本征态qn，本征值为qn，证明算符可以写成：Q??证：（1）trA?qnklnqnqn
??kk?????????v??v A??k(?vlvl)A?vlA?vlAkkkkllkll 故知迹与表象的选取无关。
?作用到任意态矢?上，并利用 （2）将算符Q?nqnqn?1得：
???Q?qq??qqq? Q?nn?nnnnn?? 故由作用法知：Q?qnnqnqn
?在??z表象中的表示，用表象变换律求在??x表象中，算符?y的本征值，本例二十四、已知Pauli算符?征矢和它的矩阵表示。
???z表象中，有??z??解：在??0??z的本征矢取为：?1而??10??0?i??01????????，，； ????yx??????1??i0??10??0??1????1?? ?0??，?2??????i?1?1?1????，??2?1???1?? 2??2??1?1?1?1????，??2?i???i?? 2??2???x的本征矢可取为：?1???y的本征矢可取为：?1???z表象??i????x表象?j ?因为?j?????ii?i?j??i?iTij，故转换振幅为：
1?i1???Tij??i?j?(T)??(T?)，由此得： ??2?i?1??y(x)?T???y(z)T??1??i?i??0?i?1?i1??01???????? ??????????2?1?1??i0?2?i?1??10?1??i?i?1?1?1?1?i????1?1???i???2??1?i?? 2??2?????y的本征矢为：而??1(x)?T??1(z)?《量子力学II》教案 第 16 页
同样可得：
?2(x)?1??i?1??? ?1?i?2??y(x)的本征值仍为?1。最后注意到幺正变换不改变算符本征值，故不必计算便知?（注：由本题可看
?在某表象中的本征矢的列矩阵排列而成的矩阵） 出从某表象到A的自身表象的变换矩阵就是由A?2?B?与B?2?1，求从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 ?满足A?,B??0，A例二十五、厄米算符A???10??01?解：由于在A表象中：A???0?1??，B???10??
?????的本征矢分别为：故B1?1?1?1????和?1???1?? 2??2??1?11??由此可知A表象到B表象的幺正变换矩阵为：S??1?1?? 2??§1.3.6坐标表象和动量表象
坐标表象r??中的基矢分别是坐标算符和动量算符的本征矢： ???和动量表象?p?????????r?pr?rr，p?pp
这两个基底的特征性关系分别是：
??????rr???3(r?r?)，?d3rrr?1
??????pp???3(p?p?)，?d3ppp?1
在任一连续基底对应的表象
除了用矩阵来表示算符外，我们还可通过算符对态矢分量???中，
???在该表象中的表示(A?)： 又称为?表象中的波函数，并常记为?(?)的作用来定义任一算符Apre???(A?)?? ?Apre??????，p??r???i?? ?的表示分别是：r在坐标表象中，算符r，p???????i??，p?，p??的表示分别是：r在动量表象中，算符r ?ppp?r???3/2?在涉及这两个表象之间的变换时，除封闭性关系外，转换振幅：rp?(2??)e起重要作用，任两
i??个态矢
?，?的标积可用波函数表示为：????d3r?*(r)?(r)
§1.3.7例题：转换算符和应用
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p?r???3/2?例二十六、求证坐标表象和动量表象之间的转换振幅满足rp?(2??)e。
i???,p?x]x??i??(x?x?),插入封闭性关系式，得： 证：先仅考虑x分量的情形，由于x[x?x???dx??(xx?xx??xp?xx??x??x?x?)??dx??[x?(x?x??)x??p?xx??xp?xx??x??(x???x?)] x??p?xx??i??(x?x?) ?(x?x?)xp在利用Dirac??函数的性质:xd??xx???i??(x?x?) ?(x)???(x),容易得到:xp?xdx?x在x表象中的矩阵表示。又由 这正是算符p?xpx??dx?xp?xx?x?px??i?xp这个方程有解:xpxpxx1? ?e1/2(2??)i?xpx?pxxpx ?x其中积分常数已选得使上式与基底的正交归一关系一致.由上式推广到三维情形则是显而易见的.
?在动量表象中的表示为i?例二十七、求证x证:因对任一态矢?,我们有:
?。 ?px???3?????i??????px?rdrr???xprd3rr???x(2??)?3/2exp(?p?r)d3rr? px??i??3??3/2?i?(2??)exp(?p?r)drr???px??i??i???px????prd3rr?
??p??px?。 ?px?在动量表象中的表示为i?故x§1.3.8薛定谔方程和表象
???是体系的哈密顿算符。对于H?不薛定谔方程与表象无关的形式为：i??(t)?H?(t)，其中H????E?。显含时间的保守系，求解上述薛定谔方程可等价地转化为求解相应的定态薛定谔方程：HEE其中，
??(t)的一般解可以写成：?的对应本征值E的本征矢量，i???(t)?H?E是H?《量子力学II》教案 第 18 页
?(t)??cEeEiEt???E。在求解薛定谔方程时，也应注意表象的选取。在许多实际问题中，常用到?r??表象。此时，对于在于时间无关的势场V(r)中运动的无自旋粒子，定态薛定谔方程为：
????22??[???V(r)]?E(r)?E?E(r)。其中?E(r)?r?E称为坐标表象中不含时波函数（或能量本征2m函数）。但有时采用其它表象更为方便。当V(r)较简单时（例如当它为坐标的n次幂，且n是小于2的整
?????p22~(p~(p??V(i??p)]?)?E?)。其中数时）可采用动量表象?p?，这时定态薛定谔方程为: [EE2m~(p)?p?正是?(r)的Fourier变换，称为动量表象中的不含时波函数。 ?EEE?注意在某些问题中会用到以H的本征矢??E?为基底的表象，这种表象称为能量表象。（在谐振子问
题中等价于占有数表象，详见第四章） §1.3.9薛定谔方程的表象选取
例二十八、求均匀场V(x)??Fx中粒子的波函数。
????2p??V(x)]?E?E?E，在动量表象中, 解：定态薛定谔方程为：[2m?2p?)]?E?Ep?E p[?V(x2m?p2d~~(p) 故：[?Fi?)]?E(p)?E?E2mdpip3~(?Ep)]。其中c为归一化常数，也可通过Fourier变化来得到坐标表其解为：?E(p)?cexp[??F6m象中的波函数（从略）。
例二十九、用动量表象求阱宽为a的一维无限深势阱中的粒子的波函数和能量。
p2?(p)?E?(p) 解：注意公式：x?(x)?0。因动量表象中的定态薛定谔方程为：2m 即：(p?2mE)(p?2mE)?(p)?0，其解为?(p)?A?(p?2mE)?B?(p?2mE)
? 坐标表象中的波函数为?(x)????ipx/??idpe?(p)?Ae?2mEx/??Bei2mEx/?
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?2?2n2,(n?1,2,3?) 再由?(0)??(a)?0，知B??A且En?2ma2???p?例三十、哈密顿H??V(r)有一组本征矢?n，相应本征值（设为分离的）是En，证明下面的求和2m规则：
?(Enn??n??En?)?nx2?2。 ?2m?的对角矩阵元E，故可先考虑对易子[x?]。因：?的矩阵元xnn?，又有H?,H证：求和规则中既有xn??2?pmp?]?[x?x?n??k(xn?kHkn?Hn?kxkn) ?,H?,]?x(i?)，所以(px)n?n??n?p[xi?2mm注意在
???表象中，H为对角矩阵，即：Hnkn?En?kn（对n不求和）
故：(px)n?n?m?矩阵元的平方，故再考虑[x?,p?x]。 (En?En?)xn?n。因所要证的式子含有xi??,p?x]?i?得： 由[x?,p?x]?n???n(xn?n(px)nn??(px)n?nxnn?)??(i???n?[x2m2??(E?E)x?nnn?nn?。此即：?(En?En?)xnn?i?n2mmxn?n(En??En)xnn??(En?En?)xn?nxnn?)i?i?
?2 ?2m例三十一、有一质量为m位于阱宽为2a的一维无限深方势阱中的粒子，求在能量表象的矩阵表式。
解：位于无限深方势阱中的粒子的能量本征函数为：
???中粒子坐标
n???xn??n(x)?????1n?cosxa2a1n?sinxa2an为偶数
n为奇数a??m???*n(x)x?m(x)dx 由此可求出x的矩阵表示：xnm?nx?a注意到态函数的宇称，得：
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