xnm??)?0(n,m奇偶性相同?4a(n?m)?(n?m)?11??2[sin?sin](偶数n奇数m) 2222?(n?m)(n?m)??4a(n?m)?(n?m)?11sin?sin（奇数]n偶数m）?2[2222?(n?m)(n?m)?§1.4薛定谔绘景和海森堡绘景
我们通常使用的正是薛定谔绘景，其中态矢随时间变化且满足薛定谔方程，算符（若不显含时间）则不随时间变化。而海森堡绘景中的态矢与时间无关：
?H(t)?u?(t,t0)?S(t)??S(t0)
??u?(t,t)A?u(t?t)随时间演化且满?(t?t)/?]是时间演化算符。其中u(t,tS)?exp[?iH但算符A0H0S0?(t)?足海森堡方程：AHi??(t)]。由于通常H?在这两种绘景中相等，故不再对其写出角标。采用[H(t),AH?海森堡绘景的优点在于它使得量子力学的表述与经典力学相似。解题时应注意到这些绘景之间是由幺正变换来联系的，因而它们保留了那些在幺正变换下的不变性。
?,t)中的无自旋粒子的一维运动，满足如下方程： 例三十二、证明对于在势场V(x?,t)d1d?V(x?(t)?p?，p?(t)??x
?dtmdt?x证：本题显然是采用了海森堡表象。因幺正变换不改变算符之间的代数关系和对易关系，而海森堡表象和薛定谔表象之间仅相差一个幺正变换，所以和在薛定谔表象中的情形一
?2p??,t)，[x?,p?]?i?。由此得： ?V(x样，在海森堡表象中也应有：H(t)?2m?2?di?ipp?(t)?[H,x?]?[?]?， x,xdt??2mmdi?ii?(t)?[H?]?[V(x?,t),p?]?[x?,p?]V?(x?,t)??V?(x?,t)。 p,pdt???例三十三、利用H?表象证明例三十中的求和规则：
?(Enn??n??En?)?nx2?2 ?2m证：下面薛定谔绘景中的量不注明角标S，并且为简单计，我们将
i(En?En?)t??n记为n。由于：
?Hn??nx?n?enx，故有
di?Hn??(En?En?)nx?Hn?，由此可得： nxdt?《量子力学II》教案 第 21 页
?n??n(En?En?)nx2?Hn???n(En?En?)nx2?Hn?n?x?Hn ??n(En?En?)nx??dd???????Hn] [nxnnxn?nxnn?x?HHH2indtdt???2???Hx?H?x?Hx?Hn???H,p?H]n???n?xn?[x 2i2im2m§1.5直积空间
在研究多自由度或多粒子情形，利用直积空间的概念常常是方便的。态空间?1和?2的直积空间
?1??2，是由如下形式的“矢量”生成的“矢量”空间：?akbl?kvl。其中?k属于?1，vl属
kl于?2，并且它们应满足如下关系：
?(??)?(??)???(??) ?(?1??2)???1???2
(?1??2)???1???2?
这里?????。算符的直积定义为：???1??2中的标积定义为：?1?1?2?2??1?2?1?2，
?为作用于?上的算符，B?为作用于?上的算符。直积空间中的态矢和??B??B?(??)?A??，其中AA12算符也满足通常矢量空间中的相应法则。直积空间?1??2中的正交归一基由?1的正交归一基的正交归一基vl???和?k2??构成：??kvl?。直积空间的维数是因子空间维数的积。封闭性关系为：
??k,lkvlvl?k?1。
??B?的矩阵表示为：v算符Al??B???vB???v???A?v?。在涉及直积时，要注意各个因?kAklkkll子的定义域，以及通常的简略写法的正确定义。
?是作用于态空间?的算符, B?是作用于态空间?的算符。如何正确理解简略写法：例三十四、若A12?的本征值与B??A??B?的本征值等于A?的本征矢是否一定为?的本征值的和。并回答C?的意义？证明CC?的本征矢和B?的本征矢的直积？ A??A??B?应理解为：C??A??I??I??B?，?和I?分别为作用于?1和?2空间中的单位算符。解：C其中I?2?1?1?2??(1)?a设：Ann??(2)?b?(2)，则有： ?n(1)，Bmmm《量子力学II》教案 第 22 页
??(1)?(2)?(A??I??I??B?)?(1)?(2) Cnm?2?1nm??(1)I??(2)?I??(1)B??(2)?(a?b)?(1)?(2) ?An?2m?1nmnmnm?与B?及B?的本征值C是A?的本征矢都能写成A?的本征值的和：C?a?b，但不能断言C?的故Cnmnmnm?的本征值可能会出现简并，例如当C是二重简并时（此时存在p,q，使得本征矢的直积，因为Cnm?的对应这个本征值的本征矢为： ，则CCpq?Cnm）
??n(1)?m(2)???p(1)?q(2)
?的不能写成直积形式的本征矢。?，B?的本征其中?,?为任意两个复数。由此可见，存在C（但总能写成A矢的直积的线形组合）
?和??'是两个不同电子的Pauli算子，在直积空间中的如下基矢： 例三十五、设???1?i?1i??1，2?i?1i??2，3?i?2i??1，4?i?2i??2
?y???'x的矩阵元。 中写出??y??解：因??i??0?i??01????，?'?x?10??，故有： 0?????0??0?i??01??0?y???'x????i0?????10????0??????i?00?i??0?i0? ?i00?000??第二章、量子力学的原理
§2.1体系的状态
§2.1.1关于状态的基本假设
量子力学关于体系状态的基本假设有：
10在给定时刻t0，物理体系的状态由其态空间?中的矢量?(t0)描述。 20态矢量?(t)随时间的变化满足薛定谔方程：i?顿算符。
体系的状态也常等价的用态矢的分量-波函数来描述。要正确理解波粒二象性以及波函数的意义，所谓“粒子性”是指粒子以确定的内禀特性（质量，电荷，自旋等）出现在实验中。“波动性”是指波动特
d?(t)?(t)，其中H?(t)是体系的哈密?(t)?Hdt《量子力学II》教案 第 23 页
??E有的“迭加性”。对于有确定能量和动量p的粒子，其粒子参量和波参量（角频率?，波矢k）之间由
??Einstein-deBroglie关系联系：E???,p??k相应的deBroglie波是几率波，是几率波恰当的把波动
性与粒子性统一了起来。
态的迭加原理是基本假设1和2的必然结果。当迭加时，整体相因子不影响物理预言而各迭加项中的相对相因子有重要意义。（例如:相对相因子是支配量子干涉效应的基本因素） §2.1.2例题：波粒二象性和态迭加原理
例一、光子的不可分裂性可说明光子不能视为经典电磁波包。设计一个实验，说明光子是不可分的。 解：
例二、有一个以速度v作一维运动的自由粒子，若用Einstein-deBroglie关系作如下的推导：
002?v??Emv2/211p??k????????mv?p。问推导错在什么地方？
??vvvv222?解：错误发生在?v是deBroglie波的相速度，而p?mv中的v是粒子的群速度，它只与描述粒子的波包的群速度联系，群速度与相速度一般是不相等的。事实上，群速度vg和相速度vp有：vg?d??，vp?，dkkp2?2k2?kp1?，vp?vg。本例题说明，尽管为了方便，自由?再利用E????，不难证明vg?mm22m2m粒子的状态有时用理想化的单色平面波表示，但自由粒子的真实状态实际上应该用由平面波迭加而成的波包描述（这一点还可从单色平面波不是平方可积函数，而真实状态必须是希尔伯特空间中的函数即平方可积函数看出）
例三、平行电子束经37伏电场加速，垂直的入射到有a?1.0A宽的窄缝的屏上（显然，这只能是一种假想实验），一个1A大小的小探测器在屏后l?10cm的地方垂直于窄缝及电子束入射方向扫描。
（a）探测器所记录的强度花样的宽度近似为多少？
（b）如果再有一个与第一个窄缝类似的第二个窄缝，它们相互平行，并且相距1A，则探测器观测到的强度花样如何变化？
（c）假设将电子束的强度减弱，直到在给定时刻，在两窄缝和探测器之间的区域只有一个电子为止，此时衍射花样如何改变？
（d）如果第二个透明的探测器横放于第一个窄缝中，以便了解一个特定的电子通过哪个窄缝，那么观测到的花样将是怎么样的？
《量子力学II》教案 第 24 页
000解：（a）由光学类比知，若衍射花样中心谱线的宽度是x，则x应等于两个第一极小之间的距离，由公式：（n?1,2,?为衍射最小值序数）知：n??asin?，
x/2??sin??。 la300hhhc12.40?10ev?A即x?2?l/a，又??????2.01A
26p2mE2(mc)E2?(0.511?10eV)?37eV故：x?2?2.01A1A00?10cm?40.2cm
（b）强度花样将由衍射图样变成双缝干涉图样。
（c）单独的一个电子的波函数亦能够同它自己相干涉，因此将观测到和（b）给出的同样的图样。 （d）如果该探测器确能选择出与通过第一窄缝的电子相关的事件，那么观测到的图形将是单缝衍射花样。但是若由于电子的以及探测器的位置和动量之间的测不准关系，以致使得第二个探测器是如此的不可靠而无法从它获得任何额外的的信息，那么这时出现的仍然是双缝干涉图样。
[注：（d）中的事实反映了经典意义下的粒子性（如有确切的轨道等）和波动性是不可能同时被精确观测到的，这常称为“互补原理”或“并协原理”，她与测不准原理有本质的联系。（参见本章2.6）] 例四、态迭加原理可以用如下说法：“如果
?1和?2是体系的两个可能状态，那么它们的线形迭加：
” ??c1?1?c2?2也是这个体系的一个可能状态。（1）有人认为上述说法中的公式可以有如下4种理解：
（i）?(x)?c1?1(x)?c2?2(x) （ii）?(x,t)?c1(t)?1(x)?c2(t)?2(x) （iii）?(x,t)?c1(t)?1(x,t)?c2(t)?2(x,t) （iv）?(x,t)?c1?1(x,t)?c2?2(x,t)
其中x泛指坐标，c1,c2是任意复常数，c1(t),c2(t)是t的任意复函数，哪种理解是正确的？问题的关键在什么地方？ （2）有人认为：因为加c1?1与ei??1是表示同一状态，?2与ei??2也是表示同一物理态，故它们的迭
1212?1?c2?2与c1ei??1?c2ei??2应是相同的状态。这种看法正确吗？
?iEt/?（3）若A(x)e和B(x)eiEt/?分别是能量本征态，那么?(x,t)?A(x)e?iEt/??BeiEt/?是否是能量本征
态？处于能量本征值的自由粒子是否处于动量本征态？
《量子力学II》教案 第 25 页