??2b?x???dx????2a?x?dy2b?x2a?xidzexp[pzz]?(x,y,z)??2??????1??2
??dx?dy?dz'dz''iexp[pz(z'?z'')]?(x,y,z')?*(x,y,z'')?2?????故得到
x?y2在a与b之间，pz?0的几率为：
?dz'dz''dpdxz????2??0????idyexp[pz(z'?z'')]?(x,y,z')?*(x,y,z'') ??2a?x2b?x2?p???V(x)?V(y)，其中V(x)，V(y)均是一维无限深势阱（0?x?a，例16、设二维无限深势阱的H2m0?y?a），若粒子的波函数为：
?y2?y?x2?x?Ncoscossinsin(x,y??0,a?)??aaaa?(x,y)?? ??0(x,y??0,a?)?那么（1）粒子能量平均值是多少？当测量粒子能量时，可能得到的结果及相应几率是多少？（2）如果测
?，可能值及几率是多少？如果测量H?结果为量Hxx?2?2
2ma
2
?，其可能值是多少？[这，那么紧接着测量Hy22?p?py??x?V(x)，H???和p?y，那么结果里H?V(y)]（3）如果同时测量Hxyx2m2m9?2?2Ex?,p0?py?p0?dp的几率是多大？ 22ma?和H?的本征矢，本征值分别是： 解：（1）由于Hxy?n(x)?1n?2sin1x，En1?n12?2?2/(2ma2) aan?2222sin2x，En2?n2??/(2ma2) aa?n(x)?2?,H?}是一组C.S.C.O；故{?n(x),?n(y)}形成基底，将?(x,y)展开有： 且{Hxy12?(x,y)?[?1(x)?1(y)??1(x)?3(y)??3(x)?1(y)??3(x)?3(y)]
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12??故H其中，E1?122[(1?1)?(12?32)?(32?12)?(32?32)]E1?10E1 4111，，。 424?2?22ma2能量可能值为18E1，10E1，2E1；几率分别为：
?的可能值为9E1和E1，几率分别为（2）Hx1211?结果为E1时，态收缩成 ，。当测量Hx222?，则其可能值为9E1，E1，几率各为1。 ?1(x)[?1(y)??3(y)],此时，紧接着测量Hy?再马上测量p?,p?y： ?y]?0，故测量结果和测量顺序无关，即可先测量H（3）因[Hxx?，得结果n1?3，态收缩为：先测Hx的几率为：
122?y，结果为p0到p0?dp ?3(x)[?1(y)??3(y)]，再测量p1p0?3(y)?p0?1(y)2dp
其中，p0?n(y)?12??a?exp[?0i2n?p0y]sin(y)dy ?aa前后两次几率的乘积，便是所求结果。 §2.5概率密度和概率流 §2.5.1概率守恒方程
???i?1??J?0，???*?，J?[?*??????*]?Re[?*(?i??)?] ?t2mm几率守恒来自波函数的几率意义和遵从薛定谔方程。推导过程利用?的定义以及S?方程及其共轭方程。
在理解几率流时应注意，几率流为零，几率不一定为零。由几率流守恒可推导其它一些守恒定律，例如质量守恒、电荷守恒等，只需将几率密度和几率流密度分别乘以粒子质量和电荷等特征量即可。 §2.5.2例题、概率流和应用
???例17、导出位于电磁场（A(r,t),?(r,t)）中的粒子的几率守恒方程。
????*??????* ?t?t?t??1???*1??H?，??(H?)* 再利用S?方程：
?ti??ti??2?2???????1qpqq????22????(p?A)?q???(p?A?A?p)?A?q? 其中体系的哈密顿为：H?2mc2m2mc2mc2解：由几率密度得：
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??????22iq??i?qq2??????2?????A?????A?A?q? 又由于p?A?A?p??i???A，所以：H?2mmc2mc2mc2?q?q???22?(???*??*??)??*???A?A??(??*) 故得：
?t2mimm???22利用???*??*?????(?*??????*)，?*???A?A??(??*)???(A?*?)
得：
?q2qi?????????(?*??????*)???(A??*)????[(?*??????*?A?*?)] ?t2mim2mi?2qi??i?(?*??????*?A?*?)] 即：J?2m???????注：（记忆法则）将标量势场中的粒子的几率流密度公式作代换：p?p?qA就可得到电磁场中的粒子的??1?几率流：J(r,t)?Re[?*(?i???qA)?]
m例18、求下列情形的几率密度和几率流密度：
?22???k（1）平面波：?1?Aexp[ i(k?r??t)]，其中???2m（2）球面波：?2?1exp[?ikr] r（3）位于常数势V0中具有能量E的一维粒子。
（4）将（3）中的结论用于阶梯势（V(x?0)?0,V(x?0)?V0）再说明和解释几率流密度为零的区域中找到粒子的几率可以不为零。 解：（1）利用公式：???*?，J??i?1[?*??????*]?Re[?*(?i??)?]得： 2mm?????k22?(r,t)?A，J(r,t)?A
m???1?1r??kr?2]??2 （2）?(r,t)?2，J?Re[?*2(?i?)mr?rrmrr?当符号为+时，J的方向是沿径向方向向外，表示向外传播的球面波。 ?当符号为-时，J的方向是沿径向方向向内，表示向内传播的球面波。
（3）位于常数势V0中的具有能量E的一维粒子的定态S?方程为：
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d2m?(x)?(E?V0)?(x)?0 22dx?当（i）E?V0时，方程的解为：?(x)?Aexp[ikx]?A'exp[?ikx] 其中正常数k定义为：k?2m(E?V0)?222
，故： Jx??k22[A?A'] m方程的解对应几率密度分别是A和A'且有相反动量p???k的两个平面波。 （ii）E?V0时，方程的通解为：?(x)?Bexp[?x]?B'exp[??x] 其中?定义为：??2m(V0?E)??J?[iB*B'?c.c.] ，故：xm?2（4）现考虑质量m，能量E的粒子，它沿ox方向传播，且在x?0处到达高度V0的势阶。 （i）E?V0时，令k1?2mE，k2?2?2m(E?V0) 2?则在x?0的区域和x?0的区域的解的形式分别为：
?I(x)?A1exp[ik1x]?A'1exp[?ik1x]，?II(x)?A2exp[ik2x]?A'2exp[?ik2x]
因为入射粒子来自x???，所以令A'2?0，以及连续性条件?I(0)??II(0),一阶导数连续 可得：
A'1k1?k2A2k1 ，2? ?A1k1?k2A1k1?k2?k1[A1m2在x?0的区域，几率流是JI??A'1]，在x?0的区域，几率流是JII?2?k22A2 mA'1，类似可导出A12JI中的第一项对应入射流，第二项对应反射流，这两个流的比值给出反射系数：R?kA透射系数：T?22
k1A1（ii）E?V0时，?I(x)和JI仍与（i）中的相同,但在x?0的区域，有：
2?II(x)?B'2Exp[??2x]?B2exp[?2x]
其中?2?2m(V0?E)/?2，为了使x???时?II有限，必须B2?0，故：
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?II(x)?B'2Exp[??2x]
所以JII?0，由此知：T?0，R?1?T?1。
这一过程是“全反射”，但?II(x)?0，即在x?0的区域找到粒子的几率不为零，这是由于在这一区域存在两种方向的相反流：对应于进入这个区域的入射波包部分的正向流和对应返回x?0区域的波包这部分的负向流，这两个流大小相等，总和为零。换句话说，这一“全反射”过程有一推迟时间，使得粒子可以暂时透入到x?0的区域。 §2.6不确定关系 §2.6.1海森堡不确定关系
设A和B是两个力学量，则它们的不准确度（或均方根偏差）满足如下Heisenberg不确定关系：
?A??B?1???A??)2?，?B??(B?,B???B??)2?。 ?]?，其中?A??(A?[A22例19、证明不确定关系
证：利用Schwarz不等式：???????，取
?，B?为??i?B?)?，其中?为实参数，A??(A任意厄米算符，?为任意归一化态矢，将上式代入Schwarz不等式，则有：
?2???2?B?,B??2??2?B?2??i??[A?]???A??2 ?A其中平均是对状态
?，B?的均方根偏差满足： ?而言的，由此知算符A?,B?]??0 (?A)2??2(?B)2???i[A?,B?]必为厄米算符，其平均值为实数，若它为正实数，取???注意到i[A则得：(?A)(?B)??A?A，若它为负实数，取???B?B1?,B?]? ?[A2等号成立的条件可由Schwarz不等式中等号成立的条件成立。
§2.7多粒子体系和全同粒子体系 §2.7.1对称化假设
??i?B?)的本征态时，等号??c?知，?为(A全同粒子是所有内秉性质完全相同，以致不可能用任何实验观察来区分的粒子，在全同粒子所组成的体系中，任何两个全同粒子相互置换不改变体系的物理状态。（全同性原理）。
如果体系是由若干非全同粒子（或子系）组成，那么其态空间是各粒子（或子系）的态空间的直积空
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