解：（1）仅对任一固定时刻而言，可以如（i）那样理解。第（iv）种理解对任意时刻的运动态都是正确的，但第（ii）,（iii）种理解是错的。
问题的关键在于态的迭加应满足S-方程，由于S-方程包含对时间的导数，情形（ii）,（iii）就不能保证这满足S-方程。
（2）尽管
?1与ei??1，?2与ei??2分别表示相同的物理态，但是它们却分别以不同的权重进
12行振幅迭加（相干迭加），也就是相对相因子不同，从而表示不同的状态。当?1??2或者才表示相同的状态。
?1???2时，
（3）注意一个力学量算符的不同本征值的本征态的迭加不是其本征态，故题中的?(x,t)不是能量本征态。因为由薛定谔方程i????可以知?(x,t)是本征值分别为E和?E的能量本征态的迭加。同??H?t样，处于能量本征值的自由粒子不一定处于动量本征态。例如该能量本征态若由有不同动量本征值但却有相同能量本征值的动量本征态迭加而成就是这种情况。 §2.2物理可观察量
§2.2.1关于物理可观察量的基本假设 量子力学关于物理可观察量的基本假设有：
30每个物理可观察量的数学表述是作用在态空间?上的观测算符。
注意观察算符是这样的厄米算符，其本征矢的集合能形成态空间的基底。判断一个算符是否观测算符常用如下方法：（1）在有限维空间，只要判断该算符是否厄米算符就可以了。因为在n维空间中，厄米算符总有n个线性独立的本征矢量，故必是观测算符。（2）在无限维空间中，厄米算符不一定是观测算符，故除判断厄米性外，还要证明其正交归一的本征矢集合满足封闭性关系或证明任何态矢均可按其本征矢展开。
???动量算符p?以及具有稳定性的体系的哈密顿算符H?都是观测算符。 显然，坐标算符r?,B??，如果存在由它们唯一的一组共同本征矢形成的正交归一基底，则这组算符?,C一组观测算符A称为对易的观测算符的完全集（用符号C.S.C.O表示）在C.S.C.O中，算符的个数一般与体系的自由度数
?，?相等，但一给定体系可以有几组不同的C.S.C.O，寻求C.S.C.O的方法是：首先取任一观测算符A如果A?本身构成一个C.S.C.O。如果A?的某些本征值是简并的，则其本征值a不再的本征值都是非简并的，则An?对易的观测算符B?和B?，并由A?的共同本征矢构造一组正交归一基，足以表征基矢，这时可选一个与A《量子力学II》教案 第 26 页
?和B?形成如果对于每对本征值an,bp只对应唯一的基矢（相差到一个相因子），即非简并的，则AC.S.C.O，否则继续选取新的对易的观测算符，直到简并完全消除为止。 §2.2.2例题：观测算符和C.S.C.O
????例五、求证：投影到右矢?上的“正交投影”算符P???（其中???1）是观测算符。
?均可写成：
???P?，故P?是厄米算符，其次注意到态空间中的任一态矢解：首先易看出有P??????(1?P?)?，而且P??和(1?P?)?均是P?的本征矢，这可从： ??P??????(P??)?P?2??P??；P?(1?P?)??(P??P?2)??0 P????????由于任一态矢
?的本征矢展开，故P?的本征矢形成态空间的基底，从而P?是观测算符。 ?均可按P???[注：类似的，投影到
??i????????也是观测算符] ,i?1,2,?,n?张成的子空间?n上的投影算符Piiii?1n例六、考虑一体系，三个右矢
?和B?定义为：?1，?2，?3形成其态空间的正交归一基底，算符H?100??100????????，H?，B?2,B??,B?，HH???0?0?10?，B?b?001?，其中b和?0为实数，算符集合H?00?1??010?????????????中，哪一组形成C.S.C.O？
? H? Bb b ?b ?2 H2 ?2?02 ?2?02 ?2?0v1 v2 ??0 ???0 ???0 v3 ?和B?均是对称和实的，故H?和B?都是厄米的，又因态空间是有限维的，故H?和B?是观测算符，解：因H?和B?时对易的。 其次由矩阵乘法易验证H最后注意如下定义的三个右矢：
v1??1，v2?(?2??3)/2，v3?(?2??3)/2
?的本征矢，相应本征值见附表。 ?，B?和H都是H2?,B?形成C.S.C.O，因为它们只有唯一的一组共同本征矢（事事上没有任何有上表可以看出，只有H《量子力学II》教案 第 27 页
???和B?的本征值对）并且形成基底。 两个本征矢同时有相同的H§2.3量子化规则 §2.3.1正则对易关系
量子力学关于经典力学量和量子算符之间的联系的基本假设有：
40若xi及pi分别为粒子的坐标和动量分量，那么它们满足正则对易关系：
[xi,xj]?[pi,pj]?0
[xi,pj]?i??ij
???共轭的动量算符p?可用?i??表示（参见第一章例二由上述对易关系可知在坐标表象中和坐标算符r十三），当存在经典类比时，要从任一经典力学量（通常是坐标和动量的函数）A(r,p,t)去构造出其相应
???,p?去替换A中的r?,p?而且要注意对易性。正确的线索是要保证所构的量子算符时，不要只单纯的用算符r??应和正则共轭动量对应造出的算符的厄米性，要达此目的，恰当的方法是“对称化”。还应注意，算符p而不是和机械动量mv相对应，除非二者相同。 §2.3.2例题：构建量子力学算符
??????正则共轭的径向动量算符 例七、构造一个与径向坐标r解：可先找经典类比，在经典力学中，质量为m的粒子在势场V(r)中的拉格朗日为：
??1?)2?(r??sin?)2]?V(r?2?(r?m[r)
2???1???mr?r?Lmrr???不对易，要p?和r???r是厄米?mr??p?r。由于p则径向坐标r的共轭动量为：pr???rrrr???1?r???r?p?)是所要求的算符。易验证在坐标表象中：?r?(p算符，可借助对称化，由此知：p2rr??1?r?(?) pi?rrL?例8、在固体物理中，为描述在势场V(z)中的电子运动引入有效质量m*的概念，这时定态薛定谔方程为：
?2d2??(z)?V(z)?(z)?E?(z)（其中m*为常量）。但若m*?m*(z)（例如当固体是由几种不2m*dz2同的材料组成的时候），问如何正确的改写S?方程？
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2pz11?z的不对易性，解：由于动能为：注意到m*(z)与p?pzpz当过渡到量子力学算符时，
2m*(z)2m*(z)因而应采用上式右端的对称化形式来过渡，以保证所得算符的厄米性。然后用?i?d?z就可得到正代替pdz?2d1d确的S?方程：??(z)?V(z)?(z)?E?(z)
2dzm*(z)dz例9、构造出任意电磁场(A(r,t),U(r,t))中的带电荷q的粒子（不计及自旋）的哈密顿算符，其中
??????A(r,t),U(r,t)分别是电磁场的矢势和标势。
????1??A(r?2?qrmr,t)?qU(r,t)
2?????B] ??L事实上，由上面给出的的确可导出粒子的正确的运动方程：mr?q[E?r解：由经典电动力学知该体系的拉格朗日为：L?由此可知，共轭动量和哈密顿分别应为：
?2??????L?1???(p?qA)?qU(r,t) p???mr?qA，H?p?r?L??2m?r???就可以得到所要求的哈密顿算符。在坐标表象中它可写成： 将上式H中的动量p换成p??2??1H?[?i???qA(r,t)]?qU(r,t)
2m§2.4力学量的测量 §2.4.1关于测量的基本假设
量子力学的与测量有关的基本假设有：
50对物理可观测量的测量结果只能是相应观测算符的本征值之一。
?A6（谱分解原理）在处于归一化态?的体系上测量物理量时，设测量结果为其相应观测算符A的
0?l本征值ak的几率（或几率密度）是?(ak)。若将态矢?按A的本征矢?k体）：
??展开（l代表简并指标的总
lll。其中，（?k,k一定）是简并本征值ak的“本征子空间”?k的一组正交归????ck?k??lkkl一基底，则：?(ak)??cll2k????l2
70（波包收缩假设）若对处于态?的体系测量可观察量A,得到的结果是ak，则刚测量后的体系的???ll状态是A的如下本征态：Pk?。其中Pk??l?k?k是到本征值ak的本征子空间?k上的投影算符。
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波包收缩假设对预言多次试验结果是必不可少的。
例10、说明状态波函数?(r,t)的数学和物理意义，波函数归一化的意义是什么？解释为什么表达力学量的算符必须是观测算符。 解：将态矢
??(t)按坐标算符r的本征矢r展开：?(t)??d3rr?(t)r。其中基矢前的系数
??????????(r,t)?形成波函数空间，它是希r?(t)正是波函数，即波函数?(r,t)是态矢?(t)在r上的分量。?尔伯特空间L（平方可积的函数空间）的子空间，即波函数不仅是平方可积的，而且是充分正规的（处处有定义（必然有界），单值，连续等）。不满足正规化条件的函数不能作为真实物理态的状态波函数（对那些绝对“理想化”的情形例外，如单色平面波波函数等）。状态波函数?(r,t)以下面的方式描述一个粒子： （1）它是一种能同自己相干涉的几率振幅。
（2）波函数的绝对值的平方正比于所描写的粒子在t时刻出现在r处的几率密度（由谱分解原理和上式可看出）。
（3）它描写一单个粒子而不是这种粒子的统计分布。
波函数的归一化条件?(r)dV?1，表明在空间任何地方找到粒子的几率为一。它反映了粒子数是守恒的。
表达力学量的算符必须是观测算符有以下三条理由：
（1）观测算符的厄密性，使其本征值为实的，这符合真实的测量结果总是实数的要求。
2????2?（2）观测算符的线性适应S?方程的线性要求，并使态迭加原理得到满足（H是观测算符）
（3）观察算符的本征矢的封闭性，使得任一态矢量均可按其本征矢展开，这保证了对处于任一状态的体系测量该观测算符所表示的力学量时都能作（几率性的）理论预言。 §2.4.2例题：力学量的可能值和平均值
?的本征值）的几率时，一般有如下几种方法： 在求力学量A的可能值（只能是A?的本征矢?l在某表象中的表示（特别是有限维矩阵表示）时，可直接计（1）若知道体系状态?和Akl算?k?，再代入公式
（2）通过代数方法将
?写成?kl的迭加，然后由每项的系数来确定几率P(ak)（注意：若态矢或本
??征矢未归一化时，这只是相对几率）。
（3）通过局域几率守恒定律来确定P(ak)。（参见下节）
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