波函数在无穷远处为零的无穷远边界条件，（以使得波函数平方可积），或满足周期性的边界条件等，使得：
?*?2?0?的厄米性。然而，本题中的波函数并不满足恰当的边界条件，从而不能在第二?0。才能保证Lz项中运用厄米算符的定义式。 §1.2.2算符的运算方法
在证明或推导算符的关系式时，除了要掌握各有关算符的意义和性质外，还应了解一些基本的算符运算方法。最常用的方法有直接法、作用法、参数微分法、积分变换法、待定系数法以及表象法。我们在下
?，p?的函数，面的例题中将分类阐述。注意许多可观测量都能表达成算符r因而经常使用正则对易关系式：
???i,r?j]?0 [r?i,p?j]?0(i,j?1,2,3) [p?i,p?j]?i??ij [r以及对易子代数中的如下一些重要关系：
?,B?] ?]??[B?,A[A?,B?]?[A?,B?,C?] ??C?]?[A[A?,B?]?[A?,B??B?,C?] ?C?]C?[A[A§1.2.3例题：直接法
在直接法中，算符无需作用于右矢或波函数上，而是直接利用算符的定义，性质，已知的对易关系、对易子代数来进行运算。
??????22??)] ????例五、求证：Lpi?piL?i?[(p?L)i?(L?pi证：以下我们采用重复指标自动求和的规约，并利用符号：
?ijk??若（ijk）是（123）的偶置换?1????1 若（ijk）是（123）的奇置换 ?0若有任意两指标相同????,p??]?[????r??p??,p??]?????[r??,p??]p???????i????p???i?????p?? 首先有：[L???]?[(r?p)?,p利用上式，知：
?2p?2?[L?2,p?L???i?p?iL?i]?[LLkk,pi]
?[L?,p?,p??L?i??p?i]?[L?i]L????Lkkkkkkijj?i??kijpjLk
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?p????i?(??ikjLkj??ijkpjLk)
????????)] ?i?[(p?L)i?(L?pi例六、用直接法求证：
?对易的单位矢量，?是Pauli算符。 其中u是和?证：注意到Pauli矩阵有如下性质：
????i???]?Cos??iu?Sin? exp[??u????222???j?k?i?jkl?l??jk
又因为：
???????????????u??u??(u(?)(?)??juj?kuk?ujuk(i?jkl?l??jk)?i?l(ujuk?jkl)?ujuj?u?u?i??u)?1
??u)??所以有：(? ???n????1????u当n是偶数时当n是奇数时
?i??1???1?n??1?n?]??)n??故：exp[??u??(?iu??(?i)?u??(?i) ???2n!2n!2n!2n?0偶数n奇数n?Cos????Sin? ?iu??22?与[A?,B?,B?,B?n]?nB?n?1[A?]，其中B?]对易。 例七、用数学归纳法证明：[A证明：当n?1时，原式显然成立。
?,B?,B?k]?nB?k?1[A?] 设n?k时，原式成立，即有：[A则当n?k?1时：
?,B?,B?,B?,B?,B?,B?k?1]?B?k[A?]?[A?k]B??B?k[A?]?kB?k?1[A?]B??(k?1)B?k[A?] [A原式也成立。
故原式对任何自然数n均成立。
§1.2.4例题：作用法
作用法是将算符或算符函数作用到态矢（或波函数，甚至左矢）上，用以形成新的态矢或形成矩阵元，从而把算符运算转换成矢量或数的运算。（注意：算符作用于其上的态矢必须是任意的，或者至少是任意的基矢）
例八、求证(uv)?vu
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证：取两个任意的态矢
?，?，构成如下矩阵元：
?(uv)????(uv)?*??u*v?*??vu???(vu)?
由于
?，?的任意性知：(uv)??vu。
?是厄米算符？ ??，问在什么条件下A??例九、设A???解：今用把算符运算转换成矢量运算的方法，因A???
???????若A?A???，则A?????，所以????c?
??把上式代入
?????得：c?????c*，故c为实数。这样，我们得知，若
???是厄米算符。 为实数时，A??????，则只有在??c?，且c?A例十、求证：[?,x]?1 ?x证：取任意波函数?(x)，则：[??(x)????,x]?(x)?(x?x)?(x)?(x?(x))?x??(x) ?x?x?x?x?x?由于?(x)的任意性，故有：[,x]?1。
?x??类似可以证明更一般的关系式[?,f(r)]??f(r)，注意：在该式两边均会出现符号
???f(r)，必须正确理解它们各自不同的含义，在左边它代表两个算符?和f(r)的乘积，
而在右边它代表函数f(r)的梯度。
?i??????Sin? ?iu??222???????是厄米算符，且(u?有两个线形无关的本征 ?)2?1（参见例五）证：因为u??，所以u?????]?Cos例十一、用作用法证明：exp[??u??矢量。设为因而有：
?)???，(u???)???? ??，??：(u????????????i???]??exp[?i?(?1)]??(Cos??iSin?)??(Cos??iSin?u?)? exp[??u????????222222??i???]?Cos??iu?Sin? ??因为??，??构成了二维自旋空间的基底，所以exp[??u??222§1.2.5例题：参数微分法
参数微分法的要点是在所涉及的算符表达式中引入参数，例如t，通过对t求导（或微分），可得一系
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列所需要的关系式，最后令t?1，即可得到原算符表达式所满足的一系列关系式。也可以通过对引入的同一参数的求导，去证明原算符等式的两端均满足有相同初值条件的同一微分方程。这里，算符A(t)对参变量t的导数被定义为：
??(t)?(t??t)?A?(t)dAA ?lim?t?0dt?t?dB??d?d??dAdAdB????且有如下的算符求导法则：(A?B)?，(AB)? ?B?Adtdtdtdtdtdt?(?)A??1(?)?1只能得到: 注意上式中因子的次序不能随意改动。例如对下式两端求导：A?(?)?1d??1dA?1??(?)而一般不能写成其他次序。 A(?)??A(?)Ad?d?例十二、求证：e??B??eB??[A?,B?,B?]?1[[A?],B?]?? A?A2!?(t)?e证：令A??B??tB2??(t)?(t)dAdA(t)dA??(t),B?]?[[A?],B?]? ?????[,B?[A(t),B]；Ae；则A(0)?A，因2dtdtdt?tB?(0)1d2A?(0)dA?B????,B?,B?]?1[[A?],B?]?? 故eAe?A(1)?A(0)?????[A2dt2!dt2!注：作为上述公式的一个直接的重要推论，我们有如下公式：
?,B?,B?,eB]?eB[A?,B?,B?均与它们的对易子[A?]对易时：[A?]?[A?]eB 当A????,e例十三、求证：[A??tB]?e??tB???B?]e??B?,B?是两个任意算符。 ?,A，其中Ad?e[B?0t证：本题不必另外引入参数，可直接将t视为参数，
?,e令：[A??tB?(t)，e]?C??tB???B?]e??B?,A?(t) d?e[B?D?0t?(t)及D?(t)均满足同一微分方程和相同的初始条件，则由唯一性定理知 若我们能证明C?(t)?D?(0)?D?(t)。事实上，因有C?(0)?0以及 C?(t)dC?????,B?,e?tB?,B?(t)?[A?,B?e?tB?[A?]e?tB?C?]e?tB?[A]??B]?[A??B
dt?(t)dD?tB????]e?tB?,B?D?(t)?e?tB?,A?D?(t)?[A?]e?tB??Be[B??B
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所以命题得以证明。
???Sin? ?iu??22i??i??1?]对?求导，则得：y?y?(?)?exp[??u???'(?)??u???(?)，y?''(?)??y?(?) 证：设y224?]?Cos例十四、用参数微分法证明：exp[??u??i??2??(?)可以是复的，积分常数比实的情形多，所以： 注意y2222i?????，所以A?0,B??u?； ?'(0)??u??又因y??2原命题得以证明。 §1.2.6例题：积分变换法
?(?)?(Asiny??A?cos?)?i(Bsin??B?cos??(0)?1故B??0,A??1 )，因y?)，常使用积分变换法，把它用算符指数函数e表示出来：涉及较复杂的算符函数F(A?A???F(A)??dkF(k)eikA，从而可利用算符指数函数来研究。
?,F(B?,B?,B?,B?)]?F?(B?)[A?]，其中A?均与它们的对易子[A?]对易。 例十五、求证：[A??ikB?证：令：F(B)??dkF(k)e
??????,eikB?,eikB?,B??]eikB则：[A,F(B)]??dkF(k)[A（参见例十二的推论） ]，因[A]?ik[A????,F(B?,B?,B?)]?[A?]dk(ik)F(k)eikB?[A?]F?(B?) 故：[A??????????????p?，F?,p?) ??F(r?,F(p?x)]和[p?x,G(x?)]，若L?r例十六、计算[x??F?????F????) 求证：[L,F]??i?(r?????p??p??r?及p?,p?x]?i?为经典数，它与x?x均对易，故可应用上例中的公式，容易得出： 解：因[x?,F(p?x)]?i?F?(p?x)；[p?x,G(x?)]??i?G?(x?) [x??F???????????F??????????) ???[L,F]?[r?p,F]?r?[p,F]?[r,F]?p??i?(r?????p??p??r§1.2.7例题：待定算符法
待定算符法常用于有小算符的算符函数的展开式中，因而能应用于微扰理论，其基本思想是将所求的展开式写成一系列待定算符的幂级数；常可引入小参量?，以区别各项小量的阶，然后比较等式两端各阶
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