小量，定出待定算符。
???B?)?1按?的方幂的展开式。 例十七、设?是一小量，求算符(A???B???B?得： ?)?1???nK?两边左乘A解：令(Ann?0????B?K?K?)K??A????n(A??B?K?) 1???(Annn?1nn?0n?1???K?K??1，A??B?K??0 比较两边?的同方幂项的系数，得：A0nn?1??1，K??1B??A?K?，由此知： ??A故：K0nn?1???B??1??A??1B??1??2A??1B??1B??1?? ?)?1?A?A?A?A(A???B?)?1，并将f(?)在??0处作泰勒展开， 注：本例也可用参数微分法求，令f(?)?(Af(?)?f(0)??f?(0)??22f??(0)??
??1； 又因f(0)?A???B???B?)(?B?)(A?) f?(0)??(A?1?1??0??1B? ?A?A
???B???B???B?)?1(?B?)(A?)B?(A?)?1f??(0)??2(A?????0??1B??1B??1?A?A?2A
代入到上面展开式中便可得到与待定算子法同样的结果。 §1.3表象和基底 §1.3.1基本概念
态矢量和算符的表示取决于表象的选取，选取态空间上的一个表象就是选取态空间上的一个基底，正交归一基底
???满足两个特征性关系：
k正交归一性：封闭性：
?k?k???kk? ?k?k?1
?k其中封闭性是一组矢量形成基底的特性，它保证了任何矢量均可按这组矢量展开：，若是连续基（k为连续指标）时，???k?k??k。以上假定了??k?是分离基（k为分离指标）
则应将?kk?换成Dirac??函数?(k?k?)，将求和?k换成积分?dk。（对于“混合基”可参见练习1.7）。
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显然连续基矢
?k的模方?k?k是无限的，因而连续基矢不属于态空间?。但由于?中的任一右矢均
。该表象有时称为?表象。 ?k视为“广义右矢”
可按基底展开，故我们把连续基矢
基底的引入，使得右矢和列矩阵，左矢和行矩阵，算符和矩阵之间建立起一一对应关系，（即给出了右矢，左矢以及算符在所给表象中的矩阵表示），然而这种关系也保持在算符代数式和矩阵代数式的对应上。任一右矢
?的列矩阵元为：?k?，它称为?在基矢?k上的分量。连续基时，可将它记为
?(?k)，并称为??k?表象中的波函数。左矢?的行矩阵是?的列矩阵的厄米共轭矩阵，其矩阵元为
?的矩阵元为：A??A??。 ??k，也称为?的分量。算符Aklkl?的本征值方程为：A?的本征值，?是本征矢量。如果我们已经?????，其中?是算符A算符A?在某一表象中的矩阵形式，则求解本征值问题归结为该矩阵的对角化问题。对于有限维矩阵，知道算符A其本征值可由求解其特征方程：detA??I?0的特征根来得到。将所得的特征根再代入本征值方程，不难定出相应的本征矢量。
?0??1???0?的本征矢集：A例十八、求算符A??0?0??A1?解：A有三个子块：A????A21000??0000?0300?
?001?i?00i1?????01??，对于子块A??1?10??，其本征值为1,?1。其本征矢量分别为：??A3??1?1?1?1?????，，对于一阶子块A2?(3)，有本征值??3，有本征矢?1?。 ????2?1?2??1?对于子块A3???i??1?i?1?1?1?1??????0,2，其本征值为其本征矢量分别为：， ?????1?2??i?2?i??有如下五个线形无关的归一化本征矢量： 所以A?1??1??0??0??0???????????1?100?????????0?1??1????1??1??0，0，1，0，0 ?????????2222??0??0??0??1??1??0??0??0???i??i???????????《量子力学II》教案 第 12 页
它们分别对应本征值1,?1,3,0,2 §1.3.2例题：基底的选取
显然在表象问题中，要抓“基底”这一关键。注意基矢往往被选为某个或某组厄米算符（严格说是观测算符，参见第二章）的本征矢，若基矢
?的本征矢，则该表象又常称为“F?表象”，或称为?k是算符F?的自身表象。由于在任何一个算符的自身表象中，该算符的矩阵表示是一个对角矩阵而且对角元就算符F是算符的本征值，因而在问题中若需选表象时则要注意选容易对角化的厄米算符的自身表象。
例十九、设1和2是两个正交归一的态矢：ij??ij，(i,j?1,2)；11?22?1试用1和2组
?，L?，L?，满足如下关系：L?L?????2L?；L?L?????L????L?；合出三个算符L1213?L3L1123?L3L2?2L2；L12?L2L133??L??，L?2?1。 L123解：由题意知，1,2已符合正交归一基底的条件。但应把它们选为是哪个算符的本征矢呢？本题显然
???，这不仅是由于L?容易对角化，更重要的是本题中只有L?才是厄米算符，进一步由L?2?1只能选L3333?的本征值?应满足??1，故其本征值分别为1和?1，故L?在自身表象中的矩阵表示容易得知，L332?10?为：??0?1??，其对应于本征值1和?1的本征矢分别为：
???1??0???0???1和??1???2。故?????L?????2L?， ??11?22，又因LL13?L3L113??ab??10??10??ab??ab??ab???????????所以若设L1??，则有???2?cd??0?1??0?1??cd??bd?? ?cd????????????????这给出L1?0??0b??00?????????；同样，由，可得出：； L2??L2L3?L3L2?2L2???0??g0??01???00????， L?2???0??10??????L??，故b?g*?ei?，今取??0得：L因为L112?0??01??1???所以：L1???00?????0???01??12；L2?21 ?????L????L?。 并且可验证它们满足L12?L2L13??A?。求在B?2?0，A??A??,A???A?A???A??A??1，B?,B?满足A例二十、已知作用于二维态空间的算符A??《量子力学II》教案 第 13 页
?的矩阵表示以及表达式。 表象中，算符A?表象，因而关键是找基矢，即找算符B?的本征矢。由于： 解：本题已要求选B??A?A??A??A??(1?A??A?)A??A??A??A??A??A?2?A??A??B?2?A? B?的本征值?满足：???，所以??1,0。这样在B?表象中，B?的矩阵形式为：B???故B?2?00?? ??01??1??0??B的基矢可记为：0???0??，1???1??。 ???????今设A?00??ab??ab???A??A?A??0，知??A?????，由B?0，从而有：c?0,d?0，又 ??????cd??01??cd??0b?22??????利用A?0得a?0,ab?0，故a?0。所以A???00??，再由B?AA知：
???00??0b??00???b*0????00?????01?? ??????i???i??1?0e?????0ei?1 ??e?这样可得b*b?1,b?e，所以：A，???01A?0??00?????i?§1.3.3例题：算符运算的表象法
表象法是通过选取适当表象或通过表象变换得到合适的表象，进而把算符运算转化为适当矩阵运算或
?为对角的表象矩阵元（数）的运算。通常，应尽可能的选问题中涉及算符的对角表象（自身表象）。在A?的本征值。 ?)由元素为F(a)的对角矩阵表示，其中a是A中，F(Akk???Sin? ?iu??22?????是厄米算符，故可用幺正变换将其对角化。又因(u?)2?1，?z表象证：因u??（参见第一章例五，或在????]?Cos例二十一、用表象法证明：exp[??u??i??2??的本征值为?1。由于幺正变换不改变算符的本征值，因而在其对角表象中：中加以验证），故u???10????u?????0?1??，故：
????i?i???]??e2exp[??u???2?0???????cos?isin?0???22??i?0e2????????10???10???cos????isin?01??0?1?????22????cos?isin?22?0《量子力学II》教案 第 14 页
?Cos????Sin? ?iu??22由于幺正变换不改变算符之间的代数关系式，所以原式在任何表象中均成立。
?为厄米算符或幺正算符，求证在任何例二十二、算符的行列式被定义为表示该算符的矩阵的行列式。设A?0?i0??????AtrA?0?i?，求deteB。 表象中均有：dete?e，若B??i?0i0????的矩阵都可通过一个幺正变换转化成一个对角矩证：由于无论在任何表象中，表示厄米算符或幺正算符A?的自身表象中，此时，e也化成对角矩阵。设A?的本征值是A。则e的本征值是e阵，即变到An?A?AAn，故
有：
??A?A，deteA??eAn?e?ntrA?nn?n?nnnAn?etrA
?由于算符的迹与表象的选取无关（参见下例），而且易证算符的行列式也与表象的选取无关，这只要注意
?为幺正算符。?U?，??A?)?detA到：det(其中U故所要证的式子适用于任何表象。又dete?eU?B?trB ?e0?1。
§1.3.4表象变换
~表象变换就是基底的变换。若新旧基底?k??~?，???的变换为：?kk???k?kTkk?，则有：右矢
~分量的逆变：?k?~?左矢分量的协变：?????kTk??k?k?，?k??kTkk?算符矩阵元的变换：k?~~，T??T*??~?，而Ak?l???klTk??kAklTll?，其中，变换矩阵的矩阵元Tkk???k?k?k?kk?kk?k?~~~Ak?l???k?A?l?.从正交归一基底变换到另一正交归一基底的充分必要条件是其变换矩阵为幺正矩阵，
也就是说，正交归一基底之间的变换式幺正变换。 §1.3.5例题：表象变换的要点
在涉及表象变换的问题中，（1）要注意并善于利用基底的封闭性关系：
?k?k?k?1。因为这式
的右端是单位算符，可相当随意地进行插入，从而在矢量的展开或基底的变换中常起重要作用。（2）要注意幺正变换所具有的一系列重要性质。例如：利用幺正变换可将任一幺正矩阵或厄米矩阵对角化。特别是
10算符的线性，厄米性和幺正性，20算符的本征值谱，30算符之间的任意代数关系，40算符之间的对易
关系，5算符的矩阵元，6态矢的标积，正交归一性（但不包括态矢本身）等均在幺正变换下保持不变。（3）除封闭性外，变换矩阵（亦称转换振幅）也起着重要的转换作用。最重要的转换振幅之一是rp，
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