第一章
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
量子力学的诞生
??,x?0,x?aV(x)??
0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)
???2a/n （1）
又据de Broglie关系
p?h/? （2）
而能量
E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有
?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??
即 px?2a?nxh （2a：一来一回为一个周期）
?px?nxh/2a,
同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,
nx,ny,nz?1,2,3,?
粒子能量
Enxnynz222?nynn1?2?2?222xz??(px?py?pz)??2?2? 22m2m?bc??a? nx,ny,nz?1,2,3,?
1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)? 提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2p?2m[E?V(x)] V(x)
?n?1,2,?, 1
解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a （1） 其中a由下式决定：E?V(x)x?a?由此得 a?1m?2x2。 ?a 0 a x 22E/m?2 ， （2）
x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件
?a?p?dx?2??a12m(E?m?2x2)dx?2m?2?a2?x2dx2?a?a?2m?a2?得a?2?2
?m??a2?nhnh2?n （3） ?m??m?代入（2），解出 En?n??,n?1,2,3,? （4）
积分公式：
?2?ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c
22a221.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用
?02/2I。 p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量E?p?解：平面转子的转角（角位移）记为?。
它的角动量p??I?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件
.?2?0p?dx?2?p??mh,m?1,2,3,?
?因而平面转子的能量
p??mh，
2Em?p?/2I?m2?2/2I，
m?1,2,3,?
第二章 波函数与Schr?dinger方程
2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 E?dr?w，
??3?2w???*???*V? （能量密度）
2m（b）证明能量守恒公式
?w????s?0 ?t 2
?s???2?2m????*??*??t?
??t?????? （?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）
E???*???22???2m??V???d3r?T?V （1）
??V??d3r?*V? （势能平均值） （2）
??d3r?*????2T2???2m?????(动能平均值) ???23*2m?dr????????????*???????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。?2T?2m?d3r??*??? （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
w??2 2m??*?????*V?, （4）
且能量平均值 E??d3r?w 。
（b）由（4）式，得
?w?t??2?.2m????*??????*???.?.?**.???V???V??2???..?.*2...2m?????*??????*??????????2?*??**?????????????V???V??.2?.?2
?????s??*????*???22m??V???????????2m?2?V?????????s?E?.????*???.?*?????????s?E??t? （? ：几率密度）
?????s （定态波函数，几率密度?不随时间改变）
所以 ?w?t????s?0 。
2.2考虑单粒子的Schr?dinger方程
3
因此
???22????i???r,t??????r,t???V1?r??iV2?r????r,t? （1） ?t2mV1与V2为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为
?2V2d?3***dr????????????dS???dt???2im??S??d????3r?*?
证：（a）式（1）取复共轭， 得
?*?22* ?i????????V1?iV2??* （2）
?t2m ??（1）-??（2）,得
*?*?2*2i???????????2?*?2i?*V2??t2m
2??????*??????*?2iV2?*?2m???????2V?*???????????*??????*??2??*?? （3） ?t2im??2V2??即 ???j???0 ，
?t?此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积?积分，得
??23***33*dr?????????????dr?drV??2??????????t?2im???
??2**3*??????????dS?drV??2?????2imS????????????上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（????j?dS ） ，而第二项代表体积?中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设?1和?2是Schr?dinger方程的两个解，证明
d?*?3???dr?r,t?r,t??0。 12dt????1??22??????V?1 （1） 证： ?i????t?2m? 4
???2??22?i??????V?2 （2） ???t?2m??*??1*??22??????V取（1）之复共轭： ?i????1 （3） ?t2m???2?（3）??1*?（2）,得
?*?2 ?i??1?2???2?2?1*??1*?2?2
?t2m????对全空间积分：
d?2?3*??i??dr?1?r,t??2?r,t???d3r?2?2?1*??1*?2?2 ?dt2m???23****????dr??????????????????????2? 2112211?2m?????????23**??dr?????????2 2112m???????2**（无穷远边界面上，?1,?2?0） ??????????dS?0，2112?2m??即
dd3r?1*r,.t?2r,t?0。 ?dt， 求??x,t?。
????2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??e?p2?i?p0x?0t?/??2m???ip0x/?解： ??x,t??e
2.5 设一维自由粒子的初态??x,0????x?，求??x,t?。
2??提示：利用积分公式
?????cos???d???sin???d??22?????2
或
??2expi?d???exp?i?4?。 ???解：作Fourier变换： ??x,0??1??p?eipx?dp， ?2?????ipx?????p??12?????????x,0?edx?12?????ipx??(x)edx??12??，
?? 5