选择适当的S?x,t?，使得（9）?（4），
??S???0 。 （10） m?x?2?2S?2??S??S?Si?2????0 （10’） ?????2m?x2m??x??x?t从（10）可得 S?2m?x?f?t? 。 （11） ?f?t?是?的任意函数，将（11）代入（10’），可得
?fm?2 ???t2?m?2积分，得 f?t???t?C 。
2?C为积分常数，但??0时，K'系和K系重合，?'应等于?，即S应等于0，故应取C?0，从而得到
m?m?2S?x?t （12）
?2?代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
?'??exp?逆变换为 ???e'iS?1?12???m?x?m?t?? （13）
2???i???i?1????'exp??m?x'?m?2t'?? （13’）
2?????相当于式（13）中的????，带的量和不带的量互换。 “，”“，”讨论：S?x,t?的函数形式也可用下法求出：
因S?x,t?和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定S?x,t?.
'沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
P'?P?m?
P'P211E????P?m?2?E??P?m?2 （14）
2m2m22'2据此，K系和K系中相应的平面波波函数为
'??ei?Px?Et??， ??e'iP'x'?E't'??? （15）
（1）、（14）代入（15），即得
?'??exp??1?12??m?x?m?t?? ?2???i?? 36
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K'系的相对速度?，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。
第六章 中心力场
6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式
?1????相对动量 p??r??m2p?mp112? （1）
M?????总动量 P?MR?p1?p2 （2）
???????????总轨迹角动量L?L1?L2?r1?p1?r2?p2?R?P?r?p （3）
??p2?2?22总动能 T12m?p2?P2M?p2? 12m2反之，有 r??????1?R?mr?, r?2?R?mr 12 p?1?mP?p，p2??2mP?p 1以上各式中，M?m1?m2, ??m1m2?m1?m2?
证： R?m1r1?m2r2m ， （17） r?r1?r2， （18）
1?m2相对动量 ?p??r???m1m2???m?r?r?1??m?12???m2p11p2? 1?m2????M ??总动量 P???MR???mmr?m2r2??1?m2?11m?p1?p2 1?m2总轨迹角动量 L??L?L?????1?2?r1?p1?r2?p2
(?5)???R?umr?????p?1???R?u?1mr???2???p2 ?R??p1?p2??r?1M?m2p1?m1p2? (1?)(2)R?P?r?p
由（17）、(18)可解出r??1,r2，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
2??????????2p2?2?6???P?p????P?p???总动能T?1?p2?m2??2m2m???m1
122m12m2 37
（4） （5） （6）
1’） 2’）
（ （?u222m1m2P?2puP?pupuP?p ??P??2m1m1m22m12m22m2m1m222222?m12?m1?m2?2P?m22?m1?m2?212?11???P?p?? 2?m1m2??2?2P2p?? （4’） 2M2?［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.
6.2) 同上题，求坐标表象中p、P和L的算术表示式
p??i???i???????rP?R，L?R?P?r?p
解： p?1M?mp??i?21?m1p2?M?m2?r1?m1?r2? 其中 ?r1?i??x?j??k?， 1?y1?z1而
??X??x?m1???x????， 1?x1?X?x1?xM?X?x同理，
??y?m1?????m1???； 1M?Y?y?z1M?Z?z（利用上题（17）（18）式。）
? ?m1r1?M?；仿此可设 ?mR??rr2?1M?R??r 代入（1）中，得 p??i??m1m2m1m2M??M?R?m2?r?M?R?m?1?r??
??i??r P???p?(2)1?p2??i???r1??r2???i??R L??R??P??r???p
只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。
6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a）电子偶素（positronium，指e??e?束缚体系） （b）u原子（muonic atom）
（c）u子偶素（muonium，指u??u?束缚体系）
38
1） 2） 3）
4）
（ （（ （解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：
Eue41mempn??2?2n2, u?m。 e?mp（a）电子偶素能级 Eue41memen??4?2n2，（u?m?me） e?me2（b）u原子能级 Euue41mumpn??2?2n2，（uu?mm）
u?p（c）u子偶素能级Em4ue1mumun??4?2n2，（u?mm?mu）
u?u2
6.4）对于氢原子基态，计算?x??p。
解： * 在求坐标系中，空间反演：r??r（r?r,?????,?????）。 12氢原子基态波函数为 ????1?100??a3??r?ea0 ?0?宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 x?0, px?0 由于?100各向同性，呈球对称分布，显然有
x2?y2?z2?13r2 p2p2212 x?y?pz?3p容易算出 r2??r2??2100?d???r???1????a3?e?2ra0r?sin?drd?d??3a20 0??p2???2??2100??100d????2??????100??100????100???100?d?
2??2???2d???2??????r??2100100??r?sin?drd?d???2a0 因此 x2?a220， ?x?x2?x?a0 p2?2?p22x?3a2，?pxx?px??03a 0?x??px??3 测不准关系的普遍结论是 ?x??px??2 39
1）2）3）4）5）6）7）8）9） （ （ （ （ （
（
（
（
（
显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且?3很接近式（9）规定的下限?2。
6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区?r?2a?（即E?V?0）的几率。
1解：氢原子基态波函数为 ????1?2?r2100a3??e，a????aue2，
Eue4e2相应的能量1??2?2??2a
T?r??Ee2 e2动能1?V??2a?r
T?E?V?0是经典不允许区。由上式解出为r?2a。
因此，电子处于经典不允许区的几率为
??2?p?1?2ra?a3r2drsin?d?d?（令??2ra）
2??a0?e0?3??4a3?a??2???e???2d??13e?4?0.2381
4
6.6）对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指nr?0,l?n?1的轨迹），计算（a）最可几半径； （b）平均半径； （c）涨落?r??r2?r2?12
解：类氢原子中电子波函数?nlm可以表示为
?nlm?Rnl?r?Y1rlm??,???runrl?r?Ylm??,?? （a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddrunrl?r??0 决定。l?n?1时，nr?0。
u0,n?1?r??Crne?Zrna
代入（2）式，容易求得 r2几?na0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 （b）在?nlm态下，各r?之间有递推关系（Kramers公式）
??1???2r?1?aZr?2?1??4??2l?1?2??2?a??2n2rZ2r?0 （参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）
40
1）
2） （4）(5) （ （