?????x,t??12?????p?ei?px?Et?/?dp （E?p22m） ??1???i??p2??t?px????2m??2??dp （指数配方）
??e????1?it?mx22?t2??eimx2??exp???p??????2m??t????dp ?令 ?2?t?mx22m???p??t??，则 ????x,t??1imx22?t2??2m??i?2?eted?????12m?2???teimx22?t??e?i?/4 ?m2??texp??i??mx2???????2?t4???????x,t?2?m2??t 。
2.6 设一维自由粒子的初态为??x,0?，证明在足够长时间后，
??x,t??m?2?texp??i?4??exp?imx??mx??2?t???????t?? 式中 ??k??1??2?e?ikxdx是??x,0?的Fourier变换。
????x,0??提示：利用 ?lim???ei?/4e?i?x2????x?。 证：根据平面波的时间变化规律
eikx?ei?kx??t? ， ??E???k22m，
任意时刻的波函数为
??x,t??12????????k?ei?kx??tk2/2m?dk
?1imx2/2?t2?e?????dk??k??exp???t?mx?2???i?2m??k??t??? ??当时间足够长后（所谓t??） ，上式被积函数中的指数函数具有?函数的性质，取 6
1）（
???t2m ， u??k?参照本题的解题提示，即得
??mx??， （2） ?t???x,t??12?eimx22?t2?m?i?/4mx?????e?k?k???dk ??t?t???????m?i?/4imx2/2?t?mx?ee??? （3） ?t??t?m?mx????? （4） ?t??t?2??x,t?2物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为k?mx?t，即
x??ktm，强度???k?，因子m?t描述整个波包的扩散，波包强度?222?1t。
2设整个波包中最强的动量成分为?k0，即k?k0时??k?最大，由（4）式可见，当t足够大以后，?的最大值出现在mx?t?k0处，即x??k0tm处，这表明波包中心处波群的主要成分为k0。
2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger方程。
p2?解：经典能量方程 E??V?r? 。
2m在动量表象中，只要作变换p?p，r?i?所以在动量表象中，Schr?dinger为：
?d dp?p2?d???V?i?? ????p??E??p?。 ???dp???2m第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
0, 0?x?aV(x,y)?? ??, 其余区域?求粒子的能量本征值和本征波函数。如a?b ，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
Enxny2?2?2nx?2ma2?ba2ny2
?nn?xy2absin?nxxsin?nyyb, nx,ny?1,2,?
7
若a?b，则 Enxny?2?222?(nx?ny) 22ma2a?nn?sinxy?nxxasin?nyya
这时，若nx?ny，则能级不简并;若nx?ny，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如nx?10,ny?5与nx?11,ny?2）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
''0, 0?x?a,0?y?b,0?z?cV(x,y,z)?? ???, 其余区域求粒子的能量本征值和本征波函数。如a?b?c，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为
2?2?2nxE?(nxnynz2ma2?b?22nynz2), c2?nyy?nxx?nz8??sinsinsinz,nxnynzabcabc
nx,ny,nz?1,2,3,?当a?b?c时，
?2?2222E?(n?n?n) xyz2nxnynz2ma?2?????nxnynz?a?32sin?nxxasin?nyyasin?nzya
nx?ny?nz时，能级不简并；
nx,ny,nz三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 nx,ny,nz三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
?52?62?82?32?42?102如 ?222222?10?12?16?6?8?20
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
(1,7,9)?(1,3,11)(1,5,10)?(3,6,9)
0, 0?x?aV(x,y)?? ??, x?0,x?a?证明处于定态?n(x)的粒子
8
aa262x?, (x-x)?(1?22)
212n?讨论n ? ?的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数
?n(x)?a2n?sinx. aa2x??x?ndx?02222a分部a2n?xsinxdx （1） ?0aa2a220(x?x)?x?x??x?na2dx?
42a212n?xa2??x?(1?cos)dx? a02a4a26?(1?22) （2） 12n?在经典情况下，在?0, a?区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x?x?dx范围的几率为dx，故
ax??x?0adxa? ， （3） a2x??2a0dxa2x??，
a3222a2a2(x?x)?x?x?? （4）
342当n??时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
?0, x?a2V(x,y)??
?, x?a2?处于基态(n?1)，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为 ?1?2?xcos , （参P57，（12）） aa 9
??(p)???12??1??2?a2aaee?ipx??2?xcosdxaa??a12?a2?ipx?1i?x?i?x?(ea?ea)dx22??a?2?a2ap?p?)?i(?)??i(?a??ea??dx?e?????p?a?p?a??p?a??p?a?i???i??i????i???????????1?11?????e?a??2?e?a??2????e?a??2?e?a??2?????a???2i????a?p?????????2i???p??a??????????1???a?1cospa1pa???p?2???pcos??2???a?a??????2?q?3pa?2?2?a2p2cos2?布?(p)??(p)2?4?a?3??2?2?a2p2?2cos2pa2?
3.5）设粒子处于半壁高的势场中
??, x?0V(x)????V0,0?x?a ??0,x?a求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出s.eq:
?\1(x)?k'2?1(x)?0, 0?x?a?\(x)?k2?2(x)?0, x?a 2其中 k'2?2??2?V0?E?, k2??2?E?2 ''x方程的解为
?1(x)?Aeikx?Be?ik? 2(x)?Cekx?De?kx 根据对波函数的有限性要求，当x??时，?2(x)有限，则
C?0
当x?0时，?1(x)?0，则A?B?0 于是
?1(x)?Fsink'x, 0?x?a?kx2(x)?De? , x?a 在x?a处，波函数及其一级导数连续，得
10
?????动量的几率分
（1） （2）
（3） （4）
（5）