Fsink'a?De?ka, k'Fcosk'a??kDe?ka （6）
k'上两方程相比，得 tgka?? （7）
k'即 tg?a???V0?E2???V?E??? （7’） ?02E??若令 ka??, ka?? （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
'?????ctg? ( 9) ??????2?V0a2 (10) （10）式是以??2?r?2?V0?2a为半径的圆。对于束缚态来说，?V0?E?0，
结合（3）、（8）式可知，?和?都大于零。（10）式表达的圆与曲线????ctg?在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当r??2，即
2?V0a??2，亦即 ?2?V0a2??2?28 （11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即0?E?V2，
d2?2m?V?E???? 2?dx当x???时，??0，故有
?A1ek1x,????Asin?kx???,?Ae?k2x,?2由
x?0,0?x?a,a?x,k1?2m?V1?E??k?2mE??????
k2?2m?V2?E??dln?dx在x?0、x?a处的连续条件，得
k1?kctg?, k2??kctg?ka??? （1）
由（1a）可得 sin???k2mV1 （2）
由于k1,k2,k皆为正值，故由（1b），知ka??为二，四象限的角。
11
因而 sin?ka??????k2mV2 （3）
又由（1），余切函数?ctg?的周期为?，故由(2)式，
??n1??sin?1?k2mV1?1 (4)
由(3)，得 ka???n??sin?k2mV2 (5)
结合(4),(5)，得 ka?n2??sin?1?k2mV2?sin?1?n1??sin?1?k2mV2?k2mV1
或 ka?n??sin?1?k2mV1 （6）
n?1,2,3,?
一般而言，给定一个n值，有一个解kn，相当于有一个能级：
2?2kn （7） En?2m当V2?V1时，仅当
a2mV2???2?sin?1?V2 V1才有束缚态 ，故V1,V2给定时，仅当 a???V2??1??sin? （8） ?V1?2mV2?2?时才有束缚态（若V1?V2?V，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级） 当V1,V2,a给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:
?k?knxAe ,n?2mV1???n??Ansin?knx??n? , ??k2nn?1??A?1e?k2n?x?a? ,?n2mV2??其中 An?x?0 ,0?x?a,x?a ,k1n?2m?V1?E??
k2n?2m?V2?E??2?a?1k1n?1k2n?
3—7）设粒子（能量E?0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。
??V0,x?0,V(x)?解：势阱为 ?0,x?0.?在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
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?1?Aeikx?Be?ikx,k1?2m?V0?E?? ikx?2?Ce,k2?2mE?112由?1(0)??2(0)，得 A?B?C。 由?1(0)??2(0)，得 k1?A?B??k2C。
''从上二式消去c, 得 ?k1?k2?A??k1?k2?B。
B2?k1?k2?反射系数 R?r?2? 2A?k1?k2?22将k1,k2代入运算，可得
R??VV02?E?E0?4?V0216E2,E??V0 ???1?4EV0,E??V0
3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系
?1?nn?1x?n(x)???n?1(x)??n?1(x)???22?x2?n(x)?12?2?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)?
并由此证明，在?n态下， x?0, V?En2 证：谐振子波函数 ?n(x)?Ane其中，归一化常数 An???2x22Hn(?x) （1）
???2?n!n, ? ? m?? （2）
Hn(?x)的递推关系为 Hn?1(?x)?2?xHn(?x)?2nHn?1(?x)?0. （3）
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?x?n(x)?Ane?????12?x122x2?xHn(?x)?22221Ane??x2?2?xHn(?x)2?Ane??x2?Hn?1(?x)?2nHn?1(?x)??e??22?1?????2?n!?nx2?nHn?1(?x)?1?2????2?n!n?e??22x2?Hn?1(?x)???2n?1??n?1?!1?n??2x22?e?Hn?1(?x)2 ???????2n?1??n?1?!?n?1??2x22?e?Hn?1(?x)2?1?nn?1?(x)??(x)??n?1n?1??22??1?nn?1x?(x)?x?(x)??n?1n?1??22?
?x2?n(x)????1?nn?1?n?1n?2?n?n?1??2???n?2(x)??n(x)???(x)??(x)???nn?2222222?????????1?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)22????1?nn?1x???x?ndx???(x)???n?1(x)??n?1(x)?dx?0
?22??????*n*n????1*V???n(x)?m?2x2??n(x)dx2??11*???n(x)?m?2???2n?1??n(x)dx 222?111?1????m?2??2n?1?n??????En222?2?2?2
3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
???n?dn?1?n(x)????n?1??n?1?dx2?2?d??(x)?n2dx2'
22?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?证：A3.式（12）：Hn(?)?2nHn?1(?), dHn(?x)?2n?Hn?1(?x)
dx 14
2222d?n(x)?An???2x2e??x2Hn(?x)?e??x2?2n?Hn?1(?x)dx???2x?n(x)?2n??n?1(x)????
?n?n?1?????n?1(x)??n?1(x)????2n?n?1(x)2?2??n?n?1????n?1(x)??n?1(x)?2?2????d2n?n?1?n?1n?2?n?n?1??(x)???????????????????nn?2nnn?22dx??2?22?2?222??2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?p???*??d?*?nn?1?n??i?dx???ndx???i????n?????2n?1?2?n?1?dx?0
?p2?2d2T?2m???*??n?????2mdx2????ndx???222m??*?n?2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?dx ?2?2?E4m??2n?1???*?2m?1?1?n?ndx?4m????2n?1??2??n?2?????n2
3—10）谐振子处于?n态下，计算
?x??2???x?x??12??，?p??2???p?p??12??，?x??p??
??n1?解：由题3—6），x?0, x2?2VE?????n2m?2?m?2?m? 由题3—7），p?0, p2?2mT?mE?1?n???n?2??m?? ?x????112??x?x?22????x2?x2?12????1??????n?2??m????1?p?2?2?1222???p?p????p?p2?1???????n?1??2??m????
?x??p???1??n?2???对于基态，n?0,?x??p??2，刚好是测不准关系所规定的下限。
15
???