类氢原子基态波函数?100?1?rae，仅是r的函数。 ?a3而??er2d1d1d，故只考虑径向测不准关系?pr?r~?， 类氢原子径向能量为：?e??e?drrd?rsin?d?prze2。 E??2urp2ze2而H?，如果只考虑基态，它可写为 ?2urprze2?d1?，pr??i??H????
2urdrr??2pr与r共轭，于是?pr?r~?，?r~r，
prze2?2ze2E??~? （1） 22urr2mr2?E??2ze2??求极值 0? 3?rmrr由此得r??2mze2?得
基态能量，E~?mze24a0z。代入（1）式，?a（a0：玻尔半径；a：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）
2?2??ze22a
1~1，作为估算是允许的。
rr运算中做了一些不严格的代换，如
4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为?，则有H??E? 为求p的平均值，我们注意到坐标算符xi与H的对易关系：
???xi,H???xi,?pjpj2u?Vx??i?piu。
j??这里已用到最基本的对易关系xi,pj?i??ij，由此
???? 26
pi??pi????u??xi,H??i?u ?xiH???Hxi?i?u??xiE???Exi??0i?????这里用到了H的厄米性。
????? 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子C?iA,B，则在A????????或B的本征态中，C的平均值必为0。
4.13）证明在的本征态下，Lx?Ly?0。 （提示：利用LyLz?LzLy?i?Lx，求平均。）
证：设?是Lz的本征态，本征值为m?，即Lz??m??
??? Ly,Lz?LyLz?LzLy?i?Lx， ?Lz,Lx??LzLx?LxLz?i?Ly，
??? Lx?1?LyLz???LzLy?i?1 ??LyLz???LzLy?i?1?m??Ly??m??Ly??0i???????同理有：Ly?0。
4.14) 设粒子处于Ylm??,??状态下，求??Lx?和?Ly2??2
解：记本征态Ylm为lm，满足本征方程
L2lm?l?l?1??2lm，Lzlm?m?lm，lmLz?m?lm，
利用基本对易式 L?L?i?L，
可得算符关系 i?Lx?i?LxLx?LyLz?LzLyLx?Ly?LzLx??LzLyLx
2?? ?LyLxLz?i?Ly?LzLyLx?i?Ly?LyLxLz?LzLyLx
将上式在lm态下求平均，因Lz作用于lm或lm后均变成本征值m?，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，
??2 27
因此 Lx2?Ly22
2又? Lx?Ly?L?Lz222?l?l?1??m2?2
??? Lx2?Ly?1l?l?1??m2?2 2??上题已证 Lx?Ly?0。
? ??Lx??Lx?Lx2??2?Lx?Lx?Lx?2221l?l?1??m2?2 2??同理 ?Ly
??2?1l?l?1??m2?2。 2??4.15)设体系处于??C1Y11?C2Y20状态（已归一化，即C1（a）Lz的可能测值及平均值; （b）L2的可能测值及相应的几率； （c）Lx的可能测值及相应的几率。
2?C22?1），求
LY11?2?Y11， L2Y20?6?2Y20； 解：?22 LzY11??Y11， LzY20?0?Y20。
（a）由于?已归一化，故Lz的可能测值为?，0，相应的几率为C1，C2。平均值Lz?C1?。 （b）L2的可能测值为2?2，6?2，相应的几率为C1，C2。
（c）若C1，C2不为0，则Lx（及Ly）的可能测值为：2?，?，0，??，?2?。
22222?010????21011）Lx在l?1的空间，?L,Lz?对角化的表象中的矩阵是?? 2???010??010??a??a???????1求本征矢并令??1，则?101??b????b?，
2?????c??010??c???得，b?2?a，a?c?2?b，b?2?c。??0,?1。
?a??1???1??ⅰ）取??0，得b?0, c??a，本征矢为?0?，归一化后可得本征矢为?0?。
2????a?????1? 28
?a??1???1??ⅱ）取??1，得b?2a?2c，本征矢为?2a?，归一化后可得本征矢为?2?。
2???a????1??1??1?ⅲ）取???1，得b??2a??2c，归一化后可得本征矢为??2?。
2???1??1??1?2??1??C1C1在C1Y11?C1?0?态下， Lx取0的振幅为C1?100?，Lx取0的几率为；Lx取??0??222???0???1????1?21??C1C1的振幅为C1?100??2??，相应的几率为；
242???1??1?2?C1?2CLx取??的振幅为C1?100???2??12，相应的几率为1。总几率为C1。
42???1?2）Lx在l?2的空间，L,Lz对角化表象中的矩阵 利用 jm?1jxjm??2?121jm?1jxjm?2?j?m??j?m?1? ?j?m??j?m?1?
3，20jx2?1?2103002? 22jx21?1，21jx20?3，2?1jx2?2?1。 203030202030120??a???a?????0?b?b????0??c????c?
????d??d?1????e???e?????0??0??1?Lx??0??0??010300203030020320120??0??0??1??0?，本征方程?0??1??0??0??0b??a，a?33?b?d???c，3c?e??d，d??e，??0,?1,?2。 c??b，
222?1??0??????0??0?333?2?ⅰ）??0，。在C2Y20?C2?1?态下，测得Lx?0b?0，a??c，d?0，e??c本征矢为?????228?3??0??0??0??1????? 29
的振幅为C2?00100????3???8????1??0?2C22?C2。几率为； ???423?0?1???1????1?1ⅱ）??1，b?a，c?0，d??b，d?e，本征矢为?0?。在C2Y20态下，测得Lx??的振幅为
2????1???1????1????1?1C2?00100??0??0，几率为0。
2????1???1?????1?????1?1ⅲ）???1，b??a，c?0，d??b，e??d，本征矢为?0?，在C2Y20态下，测得Lx???几率为0。
??2?1??1??????c1?ⅳ）??2，b?2a，c?6a，d?2e?2a，e??a，本征矢为
4?6??????1?的振幅为C2?00100?4????1??2?632C2。几率为C2； 6???842?1??1??2?6?，在C2Y20态下，测得Lx?2??2?1???1?????2?1ⅴ）???2，b??2a，c?6a，d??2a，e?a，本征矢为?6?，在C2Y20态下，测得Lx??2?的
4????2??1???几率为
32C2。 8?331?? ????C2?884?2?C2。
2 30