证：
（1）式左端?A?B?C?AxByCz?ByCz?Ay?BzCx?BxCz??AzBxCy?ByCx
????????????A?B?C?
?（2）式左端??A??B?C?????（1）式右端也可以化成 A?B?C??????A?B?C?。 （1）式得证。 ??????A?B?C????A?B?C? （??1,??2,??3）
???A??B?C??B?C???A??B?C??B?C???A?B?C??A?B?C???A?B??A?B??C?（2）式右
端?A??B?C???A?B?C?
?A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B
?C??A?B?C???A?B??A?B??C?故（2）式成立。
（3）式验证可仿（2）式。
4.5）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明
?F,A?B???F,A??B?A??F,B? ?F,A?B???F,A??B?A??F,B?
证：（1）式右端??FA?AF??B?A??FB?BF?
?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF ?FA?B?A?BF??F,A?B??（1）式左端
（2）式右端 ??FA?AF??B?A??FB?BF? ?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF
?FA?B?A?BF??F,A?B??（2）式左端
4.6）设F是由r，p构成的标量算符，证明
?L,F??i??F?p?p?i?r??F?r 证：?L,F???Lx,F?i??Ly,F?j??Lz,F?k 21
（1） （2）
（1）
（2）
?Lx,F???ypz?zpy,F??y?pz,F???y,F?pz?z?py,F???z,F?py(4.2题)??i?y?F?F?F?F?i?pz?i?z?i?py?z?y?y?pz
??F???F?F?F????i?pz?py??i??y?z ????p??pz?y???z?y???F???F?? ?i??p??i????r?? （3） ??p??r?x???x??F???F??同理可证，Ly,F?i??p??i????r?? （4） ?????p??y??r?y?L??F???Fz,F??i?????p???p??i????r?z??r??? z将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。
4.7）证明 p?L?L?p?2i?p
i??p?L?L?p???L2,p? 。
证：?p?L?L?p?x?pyLz?pzLy?Lypz?Lzpy??py,Lz???Ly,pz?
利用基本对易式 ?L?,p????p?,L???i?????p? 即得 ?p?L?L?p?x?2i?px 。
因此 p?L?L?p?2i?p 其次，由于px和Lx对易，所以
?L2,p2x???L,p?yx???L2Z,px???Ly,px?Ly?Ly?Ly,px???Lz,px?Lz?Lz?Lz,px??i??pzLy?Lypz?pyLz?Lzpy??i???pLL?i??yz?pzyp?L?L?p????Lypz?Lzpy??
x因此，i??p?L?L?p???L2,p?
4.8）证明
L2?r2p2??r?p??i?r?p ?L?p?2??p?L?2???L?p???p?L??L2p2 ??p?L???L?p??L2p2?4?2p2 22
5） 1）
2） 3）
（ （ （ （?L?p???L?p???i?Lp （4）
2证: （1）利用公式 ，A??B?C???A?B??C，有
L2???p?r???r?p?????p?r??r??p??p?r?r???p?r?r?p2
??pr??P??p?r??r?p?其中 pr2?r2p?i???r2??r2p?2i?r
p?r?r?p?i????r??r?p?3i?
因此 L2?r2?p2??r?p?2?i?r?p
（2）利用公式， ?L?p??p?L??p?p??0 可得 ??L?p???p?L?????L?p??p??L
??L?p?p???L?p?p??L??Lp2?0??L?L2p2 ??L,P2??0? ?L?p?2??L?p???L?p??L??p??L?p??
?L??p2L??p?L?p??L2p2 ??L,P2??0? ?p?L?2??p?L???p?L????p?L??p??L
??Lp2?p?L?p???L?L2p2 由①②③，则（2）得证。 （3）??p?L???L?p?4.7 ) (1)?p?L???p?L?2i?p?
??p?L?2?2i??p?L??p4.7 ) (1)L2p2?2i??2i?p?L?p??p(?)
L2p2?4?2p2（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），
?A??B?C????A??B?C???A?B?C?
??L?p???L?p??x??L?p???Lxp????L?p??L?px ，
其中Lxp?pLx?i??pzez?pyey?
（即?Lx,pxi?pyj?pzk??0?i?pzj?i?pyk）
??L?p???L?p??x??L?p???pLx?i??L?p???pzez?pyey????L?p??L?pz?i???L?p??p?x?i???L?p?p?L?p?p??x ??i?Lp2???i?Lp2xx类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故（4）题得证。
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Δ） ① ② ③
（
4.9）定义径向动量算符 pr?1?11??r?p?p?r? 2?rr???1???， ??rr?证明：?a? pr?pr， ?b? pr??i????c? ?r,pr??i?，
?d? pr2??22??21?2??????????r， 2??r2r?r??r?rr??2?e? p2?122L?pr r2???? ?ABC??CBA， 证：?a? ????????1????11111?????? pr? ?r?p?p?r???p?r?????r?p?2?rr?2??r??r?? ??1?11???p?r?r?p??pr2?rr?即pr为厄米算符。
??r????1?11?1??rr?b? pr??r?p?p?r?????p????p????i??????????2?rr?2?r?????r??r???ri??r?ri??11????p??????i???????r?r????r2?r2?rr??r??i??3r??i??31????i???r?3???i??????r2??r2?rr?r??r???1???i??????rr?
?c? ?r,pr???i???r,?1????????????i??r,???i??r?r???rr???r???r?r?
??????i??r?1?r??i??r???r22?d? pr2(b)21??11???1?2?????2??????????? 2??r?r?rrr???rr???r2??21?1?11?2??2??????????????????r2r?rr?rr2r2???r2r?r?? ????2???21?2? rr2?r?r 24
222?e?据4.8）（1），L?r?p??r?p?2?i?r?p。
其中 r?p??i?r????i?r因而 L2?r2p2??2?r?， ?r?????r???2r
?r??r?r??2?2????rp???r?2r ??r2??r??222以r?2左乘上式各项，即得
2122??4.9)?d?1222????p?2L????L?pr 2??2r?r?rr??r2
4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
p1解：一维谐振子能量 Ex?x?m?2x2。
2m22?又x??????xe?22x??dx?0奇，??m?，px?0，
?（由(3.8)、(3.9)题可知x?0,px?0）
? ?x?x?x?x，?px?px?px?px，
由测不准关系，?x?px??,得 px??22x。
1???1? Ex??m?2x2 ??2m?2x?22dEx?2?2??22? ??3??m?x?0，得 x?dx8m?x?2m?E0x?2?2m??1??12?????m??????
8m???2?2m??211??，E0z???。 223??。 2同理有E0y??谐振子（三维）基态能量E0?E0x?E0y?E0z?
4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数?e换成?ze（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 a0??2ue2，在类氢原子中变为a?a0z。
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