在??C1Y11?C2Y20态中，测Lx（和Ly）的可能值及几率分别为：
3C28
2?21C14?2112C1?C2240212C14???2?32 C284.16）设属于能级E有三个简并态?1，?2和?3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解： ?1?a?1?1??1,?1??1
1'2?2'??2???1,?2??1，?2???,?2'??2'，
1'3?3'??3???1,?3??1???2,?3??2，?3??1,?2,?3是归一化的。
??,?3'??3'。
??1,?2????1,?3????2,?3??
????1'2,?2'??????1,?2????1,?2???1,?1???0，
???1,?3????1,?3???1,?1????2,?3???1,?2???0， ???2,?3????1,?3???2,?1????2,?3???2,?2???0。
1'3,?3'??1'3,?3'。 ?它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）4.17）设有矩阵A,B,C,S等，证明
det?AB??det?A??det?B?，det?S?1AS??detA，
Tr?AB??Tr?BA?，Tr?S?1AS??TrA，Tr?ABC??Tr?BCA??Tr?CAB?，
代表矩阵的对角元素之和。 detA表示矩阵相应的行列式得值，
证：（1）由定义detA??P?i1?in?a1i1a2i2?anin，
i1?in?1当?i1?in?是?1?n?的偶置换?P?i1?in????1当?i1?in?是?1?n?的奇置换
?0其他情形 ?
故上式可写成：detA?i1?in?P?i?i?P?j?j?a1n1nj1i1aj2i2?ajnin，
31
其中?j1?jn?是?1?n?的任意一个置换。
? detC?det?AB???1i1?inn?P?i?i?C1nj1?jn1j11i1C2i2?Cnin
i1?in?P?i?i??abj1i1a2j2bj2i2?anjnbjnin
?????aa?aPi?ibb?b?1j12j2njn??1nj1i1j2i2jnin?
j1?jn?i1?in?????P?j1?jn?a1j1a2j2?anjn??P?i1?in?P?j1?jn?bj1i1bj2i2?bjnin? j1?jn?i1?in??detA?detB
（2）detSAS?detS??1??1?detA?detS?detS?1?detS?detA
?detS?1S?detA?detA
（3）Tr?AB?????aikikbki??bkiaik?Tr?BA?
ik（4）TrSAS?TrS（5）Tr?ABC??ij??1???1?AS???Tr??AS?S?1??Tr?ASS?1??TrA
cki??bjkckiaij?Tr?BCA???ckiaijbjk?Tr?CAB?
ijkijk?abijkjk 第五章 力学量随时间的变化与对称性
5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明
d2??A???A,H?,H? 2dt2证.若力学量A不显含t，则有令?A,H??C
dA1??A,H?, dti?d2A1dC11???C,H?, ??C,H??则
i?dti?dt2?2d2? ??A???A,H?,H? 2dt2
5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，证：束缚定态为:：?nr,t??nrendA?0 dt??。
?在束缚定态??r,t?，有H??r,t??i???r,t??E??r,t?。
?t?其复共轭为H??r,t???i???r?e?E??r,t?。
?t?iEnt???nnnn***nniEnt?*nn 32
?dA?dA?d???????n,?n????n,A?n????n,A?n????n,A?n?? dt?dt?????dt?dA?11?????H?n,A?n????n,AH?n? dt?i?i?????A111??A,H????n,HA?n????n,AH?n? ?ti?i?i?1?A,H??1??n,?AH?HA??n??1?A,H???H,A??0。 i?i?i???????exp??iaPx??表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）?x???
??5.3）Dx?a??exp??a??x??eikx?k?x?,?k?x?a???k?x?
是Dx?a?的本征态，相应的本征值为e?ika 证：Dx?a???x????x?a??eik?x?a??k?x?a?
?eika?eikx?k?x??eika??x?,证毕。
5.4）设m表示Lz的本征态（本征值为m?），证明
e?ikLz??e?ikLy??m
是角动量L沿空间??,??方向的分量Ln
Lxsin?cos??Lysin?csin??Lzcos??Ln?L?n
的本征态。 证：算符e?ikLy??相当于将体系绕y轴转?角，算符e?ikLz??相当于将体系绕z轴转?角，m原为Lz的本征态，
'本征值为m?，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的??,??方向，即n方向，Ylm?m变成了?，即变成了Ln的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m?。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）
P2?Vr。证明下列求和规则 5.5）设Hamilton量H?2u2??E?Ex?nmnm??n2??2u 。
x是r的一个分量， ?是对一切定态求和，En是相应于n态的能量本征值，Hn?Enn。
n 33
证： ?x,H??11i?2x,px??2i?px?px （?） 2u2uu??A?2??E?Ex?nmnmn??mxnn?En?Em?mn??mxnnHxm?nxHmn?????mxnn?x,H?m??n(?)1i?2mxnnx,Pm??mxnnPxm ??x2unun????i??mxPxn un又A??m?En?Em?nnnxm??nm?x,H?nnxm??(?)i?mxPxn ?uni?i??i??2， ?i??? 2A??m?Pxx?xPx?m???m?x,Px?m?ununuu? A???En?Em?xnmn2??22u。
不难得出，对于Y,Z分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设Fr,p为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
??n12??E?EF?k?F,?H,F??k?nknk2证：式（1）左端?A?令 （1）
??Enn?Ek?kFnnFk??kFnn?HF?FH?k
n?k?F,?H,F??k （2）
计算中用到了公式
?nnn?1。
由于H,F是厄米算符，有下列算符关系：
??H,F???HF?FH??F?H??H?F??FH?HF???H,F? （3）
??式（2）取共轭
???，得到
??A?A?k?F,?H,F??k结合式（2）和（4），得
?k?H,F?Fk??k?H,F?Fk （4）
??(3)A?12??E?EF?k?F,?H,F??k?nknkn2
证毕。
5.7）证明schr?dinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度?相对于惯性参照系K运
' 34
动（沿x轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：
x?x'?vt,y?y',z?z',t?t'。 （1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
V'x',t'?V'x'??t,t?V?x,t? （2）
???'??'??2?2'?'???V? 证明schr?dinger方程在K参照系中表为 i????2???t?2m?x'?
??2?2????V? 在K参照系中表为 i?????2?? ?t2m?x????m?m?2其中 ??exp?i???x?2?????'t?????x??t,t? ??'证：由波函数的统计解释，?和?的意义完全相同。
??x,t??w?x,t?， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度；
2?'?x',t'??w'?x',t'?，是t'时刻在x'点找到粒子的几率密度。
2但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即
w?x,t??w'x',t' （6）
从（1）式有 w?x??t,t??w?x,t? （6’）
'??由此可以得出， ?和?两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以
'??x,t??eiS?'?x',t'??eiS?x,t??'?x??t,t? （7） ?'?x??t,t??e?iS?x,t???x,t? （7）
?2?2??????2 由（1）式， , ??v?, 2'''?x?x?x?t?x?t?x?2?2'''''''''?x,t?Vx,t?x,t （3）式变为：?22m?x???????'''?'''?i???x,t?i??x,t?x?t???? （8）
?i????t将（7’）代入（8）式，可得
2?2?2??2?2S?2??S??S?S????S??????i???????V?x,t??i??????????22m?x2m?x?x2m2m?x?x?t??t???????
（9）
35