高中数学常用公式及常用结论
1. 关系：元素与集合
x?A?x?CUAx?CUA?x?A,.
n2.包含与被包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R12n
3．集合{a,a,?,a}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非
nn空的真子集有2–2个.
n4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0)2; ;
(2)顶点式f(x)?a(x?h)1?k(a?0)(3)零点式f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0).
25.方程f(x)?0在(k,k)上有且只有一个实根,
12与f(k)f(k)?0不等价,前者是后者的一个必要而
12不是充分条件.特别地, 方程ax122?bx?c?0(a?0)有
且只有一个实根在(k,k)内,等价于f(k)f(k)?0,或
12f(k1)?0且k1??k?k2b?12a2,或f(k)?0且k21?k2b???k222a.
6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的
2最值只能在x??2ba处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若
f(xm)i?nx??,q(b??p,q?2a)，则
bf?(2a)f,x(??a)xmmf(a?xp； )fx??b??p,q?2a，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)x??min?min?f(p),f(q)?.
(2)当a<0时，若
f(x?nm)if(x?)m(f)q,?ifnp?b??p,q?2a，则则
，(若)minx??b??p,q?2a，
)ma?xmfa?，xpf(x)(?fmin?q)f(p),,f(q)?(.
7.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间
(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则 ；
（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或
?p2?4q?0??p???m?2（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要
条件为f(m)f(n)?0或
?f(m)?0?f(n)?0??2?p?4q?0??m??p?n??2f(m)?0?f(n)?0或?或； ??af(n)?0af(m)?0??（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或
?p2?4q?0??p???m?2 .
8.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是
q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲
的必要条件；反之亦然.
9.函数的单调性 (1)设x?x??a,b?,x?x那么
1212(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?x1?x2上是
增函数；
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?x1?x2上是
减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果
f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为
减函数.
10.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
11．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
12.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
13.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成
b立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?;两个函2b数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?对2称.
14.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关
,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周于点(a2期为2a的周期函数.
15.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.
(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关
b于直线x?a2?对称. m(3)函数y?f(x)和y?fy=x对称.
?1(x)的图象关于直线
16.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.