112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途
径
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．
P、A、B三点共线
?AP||AB?????????AP?tAB?????????????OP?(1?t)OA?tOB.
、共线且AB、CD不共线
????CD?????????AB?tCD????AB||CD?AB且AB、CD不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?存在有序实数对,使
x,y????????????MP?xMA?yMB，
或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使
?????????????????OP?OM?xMA?yMB.
（x?y?z?k），则当k?1119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足
????????????????OP?xOA?yOB?zOC时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
A、B、 C、D ????????????AD?xAB?yAC?四点共面
?????AD与
????AB、
????AC共面?
????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
????AB????????????????OP?xOA?yOB?zOC.
121.射影公式
已知向量=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点
'在l上的射影B，则
'????AB?|AB|cos''〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算 设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)则
123123(1)a＋b＝(a?b,a?b,a?b)；
112233(2)a－b＝(a?b,a?b,a?b)；
112233(3)λa＝(?a,?a,?a) (λ∈R)；
123(4)a·b＝ab?ab?ab；
112233123.设A(x,y,z)，B(x,y,z)，则
111222????????????AB?OB?OA=
(x2?x1,y2?y1,z2?z1).
124．空间的线线平行或垂直 设
ra?(x1,y1,z1)，
rb?(x2,y2,z2)，则
?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2?z??z2?1； .
rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0125.夹角公式
设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，则
123123cos〈a，b〉=推论 (ab?ab?ab)1122332a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223. ，此即三
2222?(a12?a2?a3)(b12?b2?b3)维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角 四面体ABCD中,
AC与BD所成的角为?,则 .
|(AB2?CD2)?(BC2?DA2)|cos??2AC?BD127．异面直线所成角
rrcos??|cosa,b|