第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1中 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
D???d??2?Vh3?2m?2?2d?.
?L331 解: 式（6.2.13）给出，在体积V
Vh3内，在px到px?dpx,py到
py?dpy,px到px?dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
dpxdpydpz. （1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的量子态数为
4πVh3pdp. （2）
2上式可以理解为将?空间体积元4?Vp2dp（体积V，动量球壳4πp2dp）除以相格大小h3而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为
??p22m.
因此
p?2m?,pdp?md?.
?d?将上式代入式（2），即得在体积V内，在?到?三维自由粒子的量子态数为
D(?)d??2πVh331的能量范围内，
?2m?2?2d?. （3）
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
??cp.
试求在体积V内，在?到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在p到p?dp范围内三维自由粒子可能的状态数为
4?Vh3pdp. （1）
2将极端相对论粒子的能量动量关系
??cp
代入，可得在体积V内，在?到?子的量子态数为
D???d??4πV?d?的能量范围内，极端相对论粒
?ch?3?d?. （2）
2 6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为
al??le?????l
,
和
al???l?e??????l?其中?l和?l?是两种粒子的能级，?l和?l?是能级的简并度.
解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布?al?和?al??必须满足条件
?alll?N,?a??N?,lllll （1）
??a????a??Ell才有可能实现.
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布?al?和?al??时各自的微观状态数为
Ω?N!?all??!lall,
Ω??N?! （2）
?la?!l???llal?.系统的微观状态数Ω?0?为
Ω?0??Ω?Ω?. （3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Ω?0?或
InΩ?0?为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得
?0?InΩ?ln?Ω?Ω???NlnN??alllnal??allln?l?N?lnN???lal?lnal???lal?ln?l?,
为求使lnΩ?0?为极大的分布，令al和al?各有?al和?al?的变化，lnΩ?0?将因而有δlnΩ?0?的变化. 使lnΩ?0?为极大的分布?al?和?al??必使
δlnΩ?0??0,
即
δlnΩ?0????l?a???al?lln??δal??0. ?δal??ln?????l??l??l?但这些δal和δal?不完全是独立的，它们必须满足条件
δN?δN??δE??δalll?0,?δa??0,lll
ll??δal????δa??0.l用拉氏乘子?,??和?δlnΩ?0?分别乘这三个式子并从δlnΩ?0?中减去，得
??δN???δN???δE??δal????al???ln??????l?δal?????l?????l?alln?????l??l??l
?0.根据拉氏乘子法原理，每个δal和δal?的系数都等于零，所以得
lnal?lal??????l?0,
??????l??0,ln?l?即
拉氏乘子?,??和?al??le?????l??????l?al???l?e. （4）
由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自
遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的?和??可以不同，但有共同的?. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N?和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的?.
6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有N个玻色子，N?个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布?al?和?al??必须满足条件
?alll?N,?a??N?,l
才有可能实现.
??alll????a??E （1）
lll 玻色子处在分布?al?，费米子处在分布?al??时，其微观状态数分别为
Ω??l??l?al?1?!al!??l?1?!,Ω???l?l?al?!?l??al?!
??.系统的微观状态数Ω?0?为
Ω?0??Ω?Ω?. （3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使Ω?0?或lnΩ?0?为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得
lnΩ?0???????llll?al?ln??l?al??allnal??lln?l???lllllll?????ln???a?lna??????a??ln????a????.
令各al和al?有δal和δal?的变化，lnΩ?0?将因而有δlnΩ?0?的变化，使用权lnΩ?0?为极大的分布?al?和?al??必使
δlnΩ?0??0,
即
δlnΩ?0???lln??l?al?alδal??l???a???lnδa?lla?ll
?0.但这此致δal和δal?不完全是独立的，它们必须满足条件
N?δN??δE??δalll?0,?δa??0,lll
ll??δal????δa??0.l用拉氏乘子?,δlnΩ???l??和??0?分别乘这三个式子并从δlnΩ?0?中减去，得
???l??al???ln??????l?δal???al???????δN???δN???δE??δal?????l?al??????l?lnal??l??
?0.根据拉氏乘子法原理，每个δal和δal?的系数都等于零，所以得
ln?l?alal?????l?0,ln?l??al??l?
??????l??0,即
al??le?????l
al???1,?l?e??????l? （4）
.?1拉氏乘子?,??和?由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别
遵从玻色分布和费米分布，其中?和??不同，但?相等.
第七章 玻耳兹曼统计
7 7.2 试根据公式p???all??l?V证明，对于相对论粒子