???p2m12x?py?pz??ax?bx,
222其中a,b是常量，求粒子的平均能量.
解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式?中ax2和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于ax2项而得 出ax2?12kT的结论. 要通过配方将?表达为
b?b?222??px?py?pz??a?x??. （1） ??2m2a?4a?122
在式（1）中，仅第四项是x的函数，又是平方项. 由能量均分定理知
b?b?222??px?py?pz??a?x????2ma?4a?122
?2kT?b24a. （2）
7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵.
解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以?表示振动的圆频率，振动能级为
振动配分函数为
??n??n???1????,2?n?0,1,2,? （1）
Z1?v?en?0?121???????n??2??
v?e???????1?e12,???? （2）
lnZ1??????ln?1?e?.双原子理想气体的熵为
??vvv?S?Nk?lnZ1??lnZ1???????????????Nk?????ln?1?e???1?e?
??v??v?T??Nk???ln?1?eTv??eT?1??????, （3） ???其中?
v???k是振动的特征温度.
7.19 对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距. 试求双原子分子理想气体的转动熵.
解: 在kT远大于转动能级间距的情形下，可以用经典近似求转动配分函数Z. 根据式（7.5.23）（令其中的h0r1?h），有
Z?r11h2???e1?212?p???p??22I?sin??dp?dp?d?d?
?2I??2. （1）
双原子分子理想气体的转动熵为
??rr?S?Nk?lnZ1??lnZ1???????2I???Nk?ln??1?2???????
式中?r????2?T??Nk?ln?1?. （2）
??r?2Ik是转动特征温度，I??r2是分子绕质心的转动惯量，
m1m2m1?m2是约化质量.
补充题1 试根据麦克斯韦速度分布律证明，速率和平均能量的涨落为
??解：速率υ的涨落为
υ?υ?2??kT?8?3???,m?π?32
????2?kT?2.?υ?υ?2?υ?υ2??. （1）
,2式（7.3.14）和（7.3.13）已给出
υ?23kTm??υ?28kTπm
,所以
平动能量?的涨落为
?υ?υ?2?kT?8?3???. （2） m????????2??????. （3）
22将麦克斯韦速率分布（7.3.9）用平动能量?子的平动能量在?到?
由此可得
??2π?kT?d??12mυ2表出，可得气体分
的概率为
2π?kTe??kT?3?2d?. （4）
1?3?3??0e??kT3?2d???532kT,
154kT,??22π?kT????0e?kT?2d??所以
补充题2 体积为V的容器保持恒定的温度T，容器内的气体通过面积为A的小孔缓慢地漏入周围的真空中，求容器中气体压强降到初始压强的所需的时间.
e1?????2?32?kT?. （5）
2 解: 假设小孔很小，分子从小孔逸出不影响容器内气体分子的平衡分布，即分子从小孔逸出的过程形成泻流过程.
以N?t?表示在时刻t容器内的分子数. 根据式（7.3.18），在t到
t?dt时间内通过面积为A的小孔逸出的分子数为
1N?t?4VυAdt,
其中
υ?8kTπm 是容器内气体分子的平均速率. 容器温度保持不变，υ也就保持不变. 因此，在dt时间内容器中分子数的增量为
将上式改写为
dNN??1υA4Vdt,
dN??1N?t?4VυAdt. （1）
积分，得
根据物态方程
pV?nkT,
N?t??N0e?υA4Vt, （2）
式中N0是初始时刻容器内的分子数.
在V,T保持不变的情形下，气体的压强与分子数成正比. 所以在时刻t气体的压强p?t?为
p?t??p0eυA4V?υA4Vt, （3）
p0是初始时刻的压强. 当t?1时，容器内的压强将降到初始时刻
的，所需时间为
e1
t?4VυA. （4）
补充题3 以??q1,?,qr;试证明
p1,?pr?表示玻耳兹曼系统中粒子的能量，
xi???xj??ijkT,
其中x,x分别是2r个广议坐标和动量中的任意一个，上式称为广义
ij能量均分定理.
解: 根据玻耳兹曼分布，有
式中d????xj???xj??xie????q,p?d?. （1）
xi?e????q,p?d??dq1?dqrdp1?dpr是?空间的体积元. 令d??dxjd??j?,d??j?是除
dxj外其余2r?1个广义坐标和动量的微分. 将式（1）改写为
xi???xj??xi???xje????q,p?dxjd??j?, （2）
?e????q,p?d?并对其中的dx进行分部积分，得
j?xi???xje???dxj??1?xie???xj?1???x?xije???dxj,
其中第一项要将x的上下限代入. 如果x是粒子的动量，将上下限
jj??代入后?趋于无穷，使第一项为零；如果x是粒子的坐标，其上
j下限是??或器壁坐
标，代入后?也趋于无穷，亦使第一项为零. 考虑到
代回式（2），得
xi???xj??ijkT. （4）
?xi?xj??ij，即有
?xi??j?xjdxj?1??ij?e???dxj. （3）
式（4）称为广义能量均分定理. 假如?中含有xi的项可以表为平方项，即