在300K下，有
kT?4?10?21J,
相当于高温极限. 在10?2K下，有
kT?10?25J,
则相当于低温极限.
第八章 玻色统计和费米统计
8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即
S?klnΩ.
解: 对于理想费米系统，与分布?al?相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））
Ω??l?l!al!??l?al?!, （1）
取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））
lnΩ?????llln?l?allnal???l?al?ln??l?al???. （2）
另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为
????S?k?lnΞ??lnΞ??lnΞ??????? ?klnΞ??N??U????k?lnΞ?????l????l?al?, （3）
?其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））
lnΞ???llln1?e??????l?. （4）
由费米分布
al??le????l?1
易得
1?e?????l??l?l?al （5）
和
????l?ln?l?alal. （6）
将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为
lnΞ???llnl?l?l?al. （7）
将式（6）和式（7）代入式（3），有
??l??al?S?k???lln?allnl? ?l?alal?l??k????lln?l?allnal???l?al?ln??l?al???. （8）
l比较式（8）和式（2），知
S?klnΩ. （9）
对于理想玻色系统，证明是类似的.
8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为
SB.E.?k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???,sSF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???,s
其中fs为量子态s上的平均粒子数. ?表示对粒子的所有量子态求
s和. 同时证明，当fs??1时，有
SB.E.?SF.D.?SM.B.??k??fslnfs?fs?.
s解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为
SF.D.?k????lln?l?allnal???l?al?ln??l?al???l??k?l??l?alal???aln?aln??l?l?l??ll??
??a??a?aa???k??l??1?l?ln?1?l??llnl?, （1）
?l???l??l?l?l??式中?表示对粒子各能级求和. 以fsl?al?l表示在能量为?l的量子态
求和，注意到
s上的平均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s??ll~?,
s上式可改写为
SF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???. （2）
s由于fs?1，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.
对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明
SF.D.??k???fslnfs??1?fs?ln?1?fs???. （3）
s对于玻色系统fs不会取负值. 在fs?0，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以
取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵
??1的情形下，式（2）和式（3）中的
??1?fs?ln?1?fs????1?fs???fs???fs
所以，在fs??1的情形下，有
SB.E.?SF.D.??k??fslnfs?fs?. （4）
s注意到?sfs?N，上式也可表示为
SB.E.?SF.D.??k?fslnfs?Nk. （5）
s上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.
8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵. 解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为
3??22??311Nh? （1） U?NkT?1?5???2gV?2πmkT??22????（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）
p?2U3V, （2）
可直接求得弱简并气体的压强为
3??22??11h?, （3） p?nkT?1?5n???g?2πmkT??22????式中n?NV是粒子数密度.
由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为
??U?CV?????T?V3?? （4） 22??31?h?Nk?1?7n???,?22πmkT?22?????参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为
S??CVTdT?S0?V?. （5）
将式（4）代入，得弱简并气体的熵为
3S?32NklnT?Nk11722??2hn???S0?V?. （6） g?2πmkT?2式中的函数S0?V?可通过下述条件确定：在
3?2N?hn??????1 V?2πmkT?32的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定S0?V?，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为
??S?Nk?ln??33???22?h?2?2πmkT511???ng????. （7） ????72??h2g2πmkT?????22??? 弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数lnΞ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.
8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.
解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度Tc，气体的化学势将趋于-0. 在T?Tc时将有宏观量级的粒子凝聚在?D???d???0的基态，
称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度Tc由条件
?确定.
??0?n （1）
ekTc?1 将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））
D???d??2πLh22md?
代入式（1），得
2πLh22m???0d???n. （2）
ekTc?1二维理想玻色气体的凝聚温度Tc由式（2）确定. 令x?改写为
2πLh22?kTc，上式可
mkTc???0dxe?1x?n. （3）
在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有
1e?1x?1ex?1?e??x?e?x?1?e?x?e?2x???,
则