7.10 气体以恒定速度υ0沿z方向作整体运动，求分子的平均平动能量.
解: 根据7.8题式（9），以恒定速度υ0沿z方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
3
22υ?υy??υz?υ0???m?2?2kT????x?N?edυxdυydυz. （1） ?2?kT??m2分子平动量的平均值为
3?m?2?????2?kT?1???????12m?υ?υ?υ2x2ym2z?e?m?222υ?υy??υz?υ0????x?2kT?dυxdυydυz
mm222?υx?υy????????υz?υ0?11?m?2?12222kT2kT2kT??mυedυ?mυedυ?mυedυzxxyyz???????????22?2?kT??2??.?上式头两项积分后分别等于
112kT，第三项的积分等于
mmm222????????υz?υ0??υz?υ0??υz?υ0??2?m?21???22kT2kT2kTdυz?2υ0?υzedυz?υ0?edυz????m?????υz?υ0?e????2?kT2?????12kT?mυ0?212mυ0.2
因此，
??32kT?12mυ0. （2）
2式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量及整体运动能量
12mυ0232kT之和.
重 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率υm和方均根速率υs.
解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维
运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为
速率分布为
平均速率为
υ?mkT2?m2?kTe?m2kTυ2m2?kTe?m2kT?υ2x?υy2?dυxdυy. （1）
υdυ. （2）
???0e?m2kTυ2υdυ
2
速率平方的平均值为
??kT2m. （3）
υ??2mkTm???0e?m2kTυ2υdυ32kT
.因此方均根速率为
最概然速率υm条件
mυd??2kT?υ??0?e?dυ???2υs?υ?22kTm. （4）
确定. 由此可得
值得注意，上述υ,υm?kTm. （5）
υs,υm三种速率均小于三维气体相应的速率，这是
由于二维和三维气体中速率在υ到υ?dυ中的分子数分别与速度空间的体积元2?υdυ和4?υ2dυ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.
7.12 根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度
υr?υ2?υ1和相对速率υr?υr的概率分布，并求相对速率的平均值υr.
解: 根据麦克斯韦速度分布，分子1和分子2各自处在速度间隔dυ1和dυ2的概率为
dW?dW1?dW2
1
?m????e?2?kT?2?mυ1232kT?m?dυ1???e?2?kT?2?mυ222kTdυ2. （1）
上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以υc表示质心速度、υr表示相对速度，则
υc?m1υ1?m2υ2m1?m2,
在m1?m2?mυr?υ2?υ1. （2）
的情形下，上式简化为
υc?12?υ1?υ2?,
υr?υ2?υ1.容易验明，两种描述给出的动能K相同，即
式中
M?m1?m2,K?12m1υ1?212m2υ2?212Mυc?212?υr. （3）
2??m1m2m1?m2,
?m分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在m1?m2有
M?2m,的情形下，
??m2.
根据积分变换公式
可以证明Jdυ1dυ2?Jdυcdυr, （4）
?1，所以式（1）也可表达为
3??dW???e?2?kT?2M?mυc232kT??dυc???e?2?kT?2???υr22kTdvrdυr
?dWcdWr, （5）
其中相对速度υr的概率分布为
3
??dWr???e?2?kT?2???υr22kTdυr. （6）
相对速率的分布为
3
???4???e?2?kT?2??υr22kTυrdυr. （7）
2相对速率υr的平均值为
3???υr?4????2?kT??8kT2???0e??υr22kTυrdυr3
??
式中υ?
8hT?2υ, （8）
?m是气体分子的平均速率.
7.13 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与
υ?dυ之间的分子数为
32?m?2?2kTυ3dΓ?υ???n?υdυ. ?e?2?kT?m 解: 参照式（7.3.16），单位时间内碰到法线方向沿z轴的单位面积器壁上，速度在dυ
xdυydυz范围内的子数为
dΓ?fυzdυxdυydυz. （1）
用速度空间的球坐标，可以将式（1）表为
dΓ?fυcos?υsin?dυd?d?. （2）
2对d?和d?积分，?从0到
ππ2,?从0到2π,有
?分子数为
20sin?cos?d??2π0d??π.
因此得单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与υ?dυ之间的
3
2?m?2?2kTυ3dΓ?υ??πn?υdυ. （3） ?e?2?kT?m 7.14 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的
平均速率、方均根速率和平均能量.
解: 7.13题式（3）已求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在υ至υ?dυ范围的分子数为
3
??dΓ?υ??πn??e?2πkT?2m?mυ22kTυdυ. （1）
3如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出. 当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数. 因此在射出的分子束中，分子的平均速率为
υ?mυ2???0υdΓ?υ?dΓ?υ??
?9πkT8m??0????0??0υeυe34?2kTmυ2dυdυ
??2kT. （2）
速率平方的平均值为
υ?2????0??0υeυe35?mυ22kTmυ2dυdυ
?2kT?4kTm （3）
即速率的方均根值为
平均动能为
12mυ?2kT. （5）
2υs?υ?24kTm. （4）
上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值. 原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使式（1）含有因子υ3，而平衡态分子速率分布（7.3.9）含因子υ2的缘故.
7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为