???0dxe?1?x?1?12?13??
??n?11n. （4）
式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.
8.7 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算
（a）温度为1000K的平衡辐射.
（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.
解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在?到??d?的圆频率范围内光子的量子态数为
D???d??Vπc23?d?. （1）
2温度为T时平均光子数为
N??,T?d??D???d???. （2）
ekT?1因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为
N?T??Vπc23???0?d???2. （3）
ekT?1引入变量x???kT，上式可表示为
N?T??kT??23??πc????2.404k233V3?3??0xdxe?13x2
πc?VT.或
n?T??2.404k2333πc?T. （3）
3在1000K下，有
n?2?10m.
16?3在3K下，有
n?5.5?10m.
8?3
8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度
n?6?1028m?3,某半导体中导电电子的数密度为n?1028m?3，试验证这
??1，即n???1的情形下费米气体满足非
3两种电子气体是否为简并气体. 解: 根据§8.5，在e?简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e?形下，气体形成强简并的费米气体.
3??1，即n???1的情
3?h?2n??n??, （1） 2πmkT??32将T?300K,n?6?1028m?3代入，得
n??10??1, （2）
33说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将
T?300K,n?1020m?3代入，得
n??103?5??1,
所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.
金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.
8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率. 解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为
f?1,f?0,p?pF,
p?pF, （1）
其中pF是费米动量，即0 K时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为
8πVp?h8πVh33??pF0pFpdppdp231?413pFpF34?34pF. （2）
0因此电子的平均速率为
υ?pm?3pF4m?34υF. （3）
补充题1 写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.
解: 根据（6.2.14），二维空间中在面积A内，在
px?dpx,pypx到
到py?dpy的动量范围内，光子可能的量子态数为
2Adpxdpyh2. （1）
换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A内，动量大小在p到p?dp范围内，光子的量子态数为
4πAh2pdp. （2）
再利用光子的能量动量关系??cp和能量频率关系????，可得二维
空间中在面积A内，在?到??d?的频率范围内的光子的量子态数为
D???d??A?c2?d?. （3）
根据玻色分布和式（3），可得温度为T时二维平衡辐射在面积A内，在?到??d?的频率范围内的光子数为
N??,T?d??Aπce2?????1d?. （4）
对频率积分，得温度为T时二维平衡辐射击的总光子数为
N?T??????0N??,T?d?Aπc2???0?e???2?1??0d?xdx
A?1???2?πc?????e?1x?πA6c?22kT. （5）
22 温度为T时在面积A内，在?到??d?的频率范围内，二维平衡辐射的能量为
u??,T?d??Aπce2?????2?1d?. （6）
这是二维平衡辐射的普朗克公式. 对频率积分，得温度为T时二维辐射场的内能为
u?T???Aπc2???0??e???32?1??d?2
A??1??2?πc????332?xdxe?1x0?2.404Aπc?2kT. （7）
参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度Ju与内能密度的关系为
Ju?c2?u?1.202πc?22kT. （8）
33 应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔. （参阅E. Yablonovitch. Jour. Mod·Opt. 1994,41（173）. 章蓓. 光学微腔. 见：介观物理. 北京：北京大学出版社，1995.276）. 不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.
补充题2 金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性. 这是泡利（Pauli）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性. 试根据费米分布导出0K金属中自由电子的磁化率. 解: §7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向. 离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。泡利顺磁性来自金属中自由电子的自旋磁矩在外磁场作用下的取向，电子是高度简并的，遵从费米分布，受泡利不相容原理约束. 因此两者显示很不相同的特性.
电子自旋磁矩大小等于玻尔磁子?B. 在外磁场B作用下，磁矩可以平行或反平行于外磁场B. 磁矩平行于外磁场的电子，其能量为
??p22m??BB. （1）
磁矩反平行于外磁场的电子，能量为
??p22m??BB. （2）
处在外磁场中的电子，其动量仍然是守恒量. 单位体积内两种磁矩取向的电子，在p到p?dp动量范围内的状态数均为
4πpdph32，将
式（1）和（2）代入，得单位体积内两种磁矩取向的电子在能量?到??d?范围内的状态数分别为
D????d??2πh3?2m?2??3??BB?2d?1 （3）
和
D????d??2πh3?2m?2??3??BB?2d?. （4）
1下图以?为纵坐标，D????和D????为横坐标，画出了不存在外磁场（图（a））和存在外磁场（图（b），（c））的的情形下状态密度随?的变化.
0 K下电子层可能占据能量最低的状态. 不存在外磁场时，两种磁矩取向的电子能量是相同的，电子的分布将如图（a）所示. 加入外磁场后，如果电子的占据情况不变，电子的分布将如图（b）所示. 但是这种分布不是平衡状态.由于达到平衡后电子尽可能占据最