P(A)?g的测度?的测度?构成事件A的区域长度（面积或体积等）
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.
P(AB)【说明】：条件概率：称P(B|A)?为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
P(A)注意：①0?P(B|A)?1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
?位置分析法?用加法原理（分类）?元素分析法①直接法： ?用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）???捆绑法（相邻问题）②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。
⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n!. B7.最值定理 ①x,y?0,由x?y≥2xy，若积xy?P(定值)，则当x?y时和x?y有最小值2②x,y?0,由x?y≥2xy，若和x?y?S(定值)，则当x?y是积xy有最大值
22p；
s.
214【推广】：已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy.
（1）若积xy是定值，则当|x?y|最大时，|x?y|最大；当|x?y|最小时，|x?y|最小. （2）若和|x?y|是定值，则当|x?y|最大时，|xy|最小；当|x?y|最小时，|xy|最大. ③已知a,x,b,y?R，若ax?by?1，则有：
1x?1y???(ax?by)(1x?1y)?a?b?byx?axy≥a?b?2ayxab? (bxya?b)2
ab?(a?b)2④a,x,b,y?R，若
ax?by?1则有：x?y??x?y?(?)?a?b?2B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解； 【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对
称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如
y?ax?bcx?d,x?(m,n)的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如y?x?kx(k?0)，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技
巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如y?a1x?b1x?c1a2x?b2x?c222（a1,a2不同时为0）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.y?2.y?3.y?4.y?bk?x22型，可直接用不等式性质；
型，先化简，再用均值不等式； 型，通常用判别式法；
型，可用判别式法或均值不等式法；
bxx?mx?n2x?m?x?n?x?mx?nx?m?x?n?22mx?n?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.?? B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)y?(2)y?(3)y? y?cx?dax?bcx?dax?b22 (a?0) ：则y?ca且y?R.
(x?2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.
2x?3x?26x?x?1(2x?1)(x?2)： ?x?23x?1(x?12) ，则y?13且y?1且y?R.
(2x?1)(3x?1)数学应试笔记 第6页
(4)求y?y?2x?1x?x?12的值域，当x?R时，用判别式法求值域。
2x?1x?x?1222?yx?(y?2)x?y?1?0，??(y?2)?4y(y?1)?0?值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
?凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 0?x?4时，求函的数y?x(8?2x)最大值.
?凑项（加、减常数项）：例2.已知x?254 ，求函数f(x)?4x?2?(x??1)的值域；
14x?5的最大值.
?调整分子：例3.求函数f(x)??变用公式：基本不等式
a?b2y?22x?7x?10x?122a?b?ab有几个常用变形：
a?b222?ab, (a?b2)?ab，
2?a?b2，
a?b21222?(a?b252).前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数
2x?1?5?2x(?x?)的最大值；
?连用公式：例5.已知a?b?0，求y?a2??对数变换：例6.已知x?1216b(a?b)的最小值；
lny,y?1，且xy?e，求t?(2x)≤x的最大值；
?三角变换：例7.已知0?y??2，且tanx?3tany，求t?x?y的最大值；
1a?1b?常数代换（逆用条件）：例8.已知a?0,b?0，且a?2b?1，求t?B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ?平方和为定值
22若x?y?a（a为定值，a?0），可设x?的最小值.
acos?,y?asin?,，其中0≤??2?.
①f(x,y)?x?y?asin??acos??2asin(???4)在[0,14?],[?,2?)上是增函数，在
4515?[?,]上是减函数； 44113571357②g(x,y)?xy?asin2?在[0,?],[?,?],[?,2?)上是增函数，在[?,?],[?,?]上是减
244444444函数；
③m(x,y)?t?[?21x?1y?x?yxy2?sin??cos?asin?cos?2.令t?sin??cos??，得
22asin(??2?4)，其中
s，从而1,??1)??(1,.1由)11?,2sin2?]cos?t(?s?in??tc?om(x,y)?2ta(t?1)2?a(t?)t1在[?2,?1)?(?1,1)?(1,2]上是减函数.
?和为定值
若x?y?b（b为定值，b?0），则y?b?x.
①g(x,y)?xy??x2?bx在(??,]上是增函数，在[,??)上是减函数；
22bb②m(x,y)?1x?1y?x?yxy?b?x?bxb22.当b?0时，在(??,0),(0,]上是减函数，在[,b),(b,??)上
22bbb是增函数；当b?0时，在(??,b),(b,]上是减函数，在[,0),(0,??)上是增函数.
2③n(x,y)?x2?y2?2x2?2bx?b2在(??,]上是减函数，在[,??)上是增函数；
22bb?积为定值
若xy?c（c为定值，c?0），则y?①f(x,y)?x?y?x?ccx.
x函数；当c?0时，在(??,0),(0,??)上是增函数；
.当c?0时，在[?c,0),(0,c]上是减函数，在(??,?c],[c,??)上是增
②m(x,y)?(??,?c1x?1y?x?yxy22?1c(x?cx(0上,是]减函数，在).当c?0时，在[?c,0),cc?0时，在(??,0),(0,??)上是减函数； ],c[??,上是增函数；当)222③n(x,y)?x?y?x?cx?(x?cx)?2c在(??,?c),(0,c]上是减函数，在(?c,0],[c,??)上是
2增函数.
?倒数和为定值
c1112111若??（d为定值，,,），则y?.成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中z??，
xdxydxdy则1x?1d?z,1y?1d2?z,得x?d1?dz,y?d1?dz1.. ),(?1,0]上是减函数，在[0,1d),(1d,??)上是增函
①f(x)?x?y?数；当d?2d21?dzdd11110时，在(??,),(,0]上是增函数，在[0,?),(?,??)上减函数；
dddd.当d?0时，在(??,?ddd1?dz1111数；当d?0时，在(??,),(,0]上是减函数，在[0,?),(?,??)上是增函数；
dddd②g(x,y)?xy?d222..当d?0时，在(??,?1),(?1,0]上是减函数，在[0,1),(1d,??)上是增函
③n(x,y)?x?y?n(x,y)?2dt(t?2)22222d(dz?1)(dz?1)222222.22.令t?dz?1，其中t≥1且t?2，从而
?2dt?4t2在[1,2)上是增函数，在(2,??)上是减函数.
?4B12.理解几组概念 *1. 广义判别式
2设f(x)是关于实数x的一个解析式， a,b,c都是与x有关或无关的实数且a?0，则??b?4ac≥0是方程a?f(x)??bf(x)?c?0有实根的必要条件，称“?”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.
数学应试笔记 第8页
2
*3. 二元函数
设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量Z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z称为变量x与y的二元函数.记作：Z?f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域.
把自变量x、y及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在xoy平面内作出函数Z?f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xoy平面的有向线段MP，使其值为与(x,y)对应的函数值Z； 当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Z?f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影.
*4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.
*5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
*6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果y?f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定y?f(x)的拐点.
(1)求(2)令
f??(x)； f??(x)?0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
f??(x)在x0(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查
左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此
点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点
曲线f(x)在它的极值点x0处的切线都平行于x轴，即f(x0)?0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x1,x2?D的都有的凸函数.定义在D上的函数如果满足：对任意的x1,x2?D都有
f(x1?x22x1?x22)≤12)≥12[f(x1)?f(x2)]，则称是f(x)上
f([f(x1)?f(x2)]，则称f(x)是D上
的凹函数. 【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数y?f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立.这个定理的特殊情形，即：f(b)?f(a)的情形.描述如下：
若?(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且?(a)??(b)，那么在(a,b)内至少有一点c，使??(c)?0成立.
f(b)?f(a)?(b?a)f?(c)*2. 零点定理：
设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b)＜0．那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点?（a＜?＜b）使f(?)?0．
*3. 介值定理：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)?A,f(b)?B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C（a＜?＜b）．
*4. 夹逼定理：
设当0＜|x?x0|＜?时，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)?limh(x)?A，则必有limf(x)?A.
x?x0x?x0x?x0