【注】：|x?x0|：表示以x0为的极限，则|x?x0|就无限趋近于零．（?为最小整数）
C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式
设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点，?是实数，且P1P??PP2（或P2P=则
x1??x2???????x??????????????1OP1??OP2?1??） ?OP??OP?tOP1?(1?t)OP2（t??1??1???y?y1??y2?1???Py1?y2???????1?PP1），
推广1：当??1时，得线段P1P2的中点公式：???y?2
O?x?x1?x2??2BA推广2：AMMB??则PM?PA??PB1??（?对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABCx1?x2?x3?x??3的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标G?x,y?：? ??y?y1?y2?y3?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键(???1)
???
P1P2PP1PPP2P1P2
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P与P1重合，λ=0 P与P2重合，λ不存在 P离P2 P1无穷远，λ=?1 *2.中点公式是定比分点公式??1的特例；
*3.始点终点很重要，如若P分P1P2的定比λ=*4.x1,x2,x,?知三求一；
*5.利用?有界性可求一些分式函数取值范围；
????????*6.OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：f(x)?cx?f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
②指数函数型：f(x)?a?f(x?y)?f(x)f(y),x12，则P分P2P1的定比λ=2；
f(x?y)?xyf(xyf(x)f(y),f(1)?a?0.
f(a)?1(a?0,a?1).
③对数函数型：f(x)?logax?f(xy)?f(x)?f(y),?f()?f(x)?f(y),f(x)f(y)④幂函数型：f(x)?x?f(xy)?f(x)f(y),f?(1)??,
)?.
数学应试笔记 第10页
⑤三角函数型：f(x)?cosx,g(x)?sinx,f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y),f(0)?1,limf(x)?tanxsinxxx?0?1.
,
f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y).
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。
C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性
性质1：对于函数y?f(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有的图像关于直线x?a?b2对
称. 【注】：f(a?mx)?f(b?mx)(m?0)亦然. 【特例】，当a?b时，f(a?x)?f(a?x)?f(x)的图像关于直线x?a对称. 【注】：f(x)?f(2a?x)亦然. 性质2：对于函数y?f(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有f(a?x)?f(b?x)?f(x)的
图像关于点(【特例】：当aa?b2,0)对称.
时，f(a?x)??f(a?x)?f(x)的图像关于点(a,0)对称.
【注】：f(x)??f(2a?x)亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数y?f(x)，如果对于定义域内任意的x，都有f(a?mx)?f(b?mx)(a,b,m?R,且m?0)，则
?by?f(x)的图像关于直线x?a?b2对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数y?f(x)，如果对于定义域内任意的x，都有f(a?mx)??f(b?mx)(a,b,m?R,且m?0)，
则y?f(x)的图像关于点(a?b2,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【小结】函数对称性的充要条件 函数关系式(x?R) f(x)??f(?x) f对称性 函数f(x)图像是奇函数 函数f(x)图像是偶函数 函数f(x)图像关于直线x?a对称 函数f(x)图像关于点P(a,b)对称 (x)?f(?x) f(x)?f(2a?x) 或f(a?x)?f(a?x) f(x)?2b?f(2a?x) 或f(a?x)?2b?f(a?x) 【注】：这里代数关系式中两个“f”（对应法则）内的“x”（变量）前的正负号相异，如果把两个“f”放在“?”的两边，则“f”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数y?f(x)与y??f(x)的图像关于直线y?0对称. 2.函数y?f(x)与y?f(?x)的图像关于直线x?0对称. 3.函数y?f(x)与y??f(?x)的图像关于原点(0,0)对称. 4.函数y?f(x)与它的反函数y?f(x)的图像关于直线y5.函数y?f(a?mx)与y?f(b?mx)的图像(a,b,m??1?x对称.
b?a2mR,m?0)关于直线x?b?a2对称.
特别地，函数y?f(a?x)与y?f(b?x)的图像关于直线xC4.几个函数方程的周期(约定a?0)
?对称.
(1)若f(x)?f(x?a)，或
f(x?a2)?f(x?a2)，则f(x