③n?N?，n?1?2n11111④n?N?,n?1，??2??.
nn?1nn?1nn?1?n?n?1；
⑤lnx≤1?x(x?0),ex≥x?1(x?R).
D8.三角函数最值题型及解题捷径
①y?asinx?bcosx；
2②y?asinx?bsinxcosx?ccos2x；
③y?asin2x?bcosx?c；
2
④y?asinx?cosx（均值不等式法）；
⑤含有sinx?cosx或sinx?cosx；
asinx?c⑥y?.
bcosx?d
D9.数论中的一些浅显结论
数论可以分为：初等数论，代数数论，几何数论，解析数论等.数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆.
主要结论有：
①带余除法：若a,b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q,r,使得a?bq?r（0≤r＜b），q、r是唯一的.特别地，如果r?0，那么a?bq.这时a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数.
②若a|c，b|c，且a,b互质，则ab|c.
③唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即P1P2…Pn,(1)其中
p1＜p2＜?＜pk为质数，a1,a2,?,ak为自然数，并且这种表示是唯一的.（1）式称为na1a2an的质因数分解或标准
?1)分解.
④约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d(n)?(a1?1)(a2?1)…(ak⑤整数集的离散性：n与n?1之间不再有其他整数.因此，不等式x＜y与x≤二、解答题
做题提醒：获得高分不仅需要采取多夺分策略，还须谨记坚持少丢分策略
第十五题（三角基础题）——基础题你答对了吗？
15.1、正弦定理 1.知识工具：
在△ABC中，
asinA?bsinB?csinC?2R（2R是?ABC外接圆直径 ）.
y?1是等价的.
【变式】：①a:b:c?sinA:sinB:sinC；
②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；
③
asinA?bsinBa2R?csinCb2R?a?b?csinA?sinB?sinCc2R。
④sinA?,sinB?,sinC?
在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角. 【注明】：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三角形内角和定理：A?B?C??
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：S?12absinC?abc4R?2RsinAsinBsinC
2
(4)三角函数的恒等变形
sin(A?B)?sinC，sin(A?B)??cosC，sinA?B2?cosC2，cosA?B2?sinC2
2.三种题型
①利用正弦定理公式原型解三角形
②利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化. ③三角形解的个数的判定：
方法一：画图观察
已知a,b,A，其中h?bsinA， ?A为锐角时：
C ba①a?h时，无解；
②a?h时，一解（直角）； a h③h?a?b时，两解（一锐角，一钝角）；
A ④a≥b时，一解（一锐角）.
?A为直角或钝角时： ①a≤b时，无解；
②a?b时，一解（锐角）.
方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.
15.2、余弦定理
1.知识工具： 等三个。
2bc【注明】：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理.在变形中，注意三角形中其他条件的应用.
2.三种题型
①利用余弦定理公式的原型解三角形.
②利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形： 凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式.
③判断三角形的形状.
根据余弦定理，当a2?b2＜c2，b2?c2＜a2，c2?a2＜b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2?b2＞c2，b2?c2＞a2，c2?a2＞b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.
判断三角形形状的方法：
(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A?B?C??这个结论.
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解. 15.3、正余弦定理实际应用 两点间不可通又不两点间可视但不可两点都不可达 可视 达 a2C?b?c?2bccosA等三个；cosA?22b?c?a222求距离 底部可达 求高度 ①计算高度； ②计算距离；
数学应试笔记 第26页
底部不可达
③计算角度；
④测量方案的设计
实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解. 15.3、常见结论
1.①三角学中的射影公式：在?ABC中，a?bcosC?ccosB…….
②三角学中的射影定理：在Rt?ABC中，AC【思考】“射影定理”、“勾股定理”关系.
a?ba?btan?tanA?B2. A?B2A
D O B
C 2?AD·AB；CD2?AD·DB.
2.正切定理：
3.三角形面积公式
①S??1212abc4Raha?12bhb?1212； chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）
122②S??③S??absinC?acsinB?bcsinA；
（R为外接圆半径）；
＝
csinAsinB2sin(A?B)2； ④S??2RsinAsinBsinC2【变形】：S＝
⑤S??12asinBsinC2sin(B?C)2＝
bsinCsinA2sin(C?A)．
； ?a?b?c?r（r为内切圆半径）
【说明】：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra A AcbA acBDCcFbE DbrFOI rCrBaE BIaC图1 图2 图3
A
A FE CNBBC D图4 图5
附：三角形的五个“心”：
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点． 内心：三角形三内角的平分线相交于一点． 垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．
aaa（5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c2]，则： AE=s?a=1/2（b+c-a）；
BN=s?b=1/2（a+c-b）； FC=s?c=1/2（a+b-c）； 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）． 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=
⑥S?＝⑦S??⑧S??1212a?b?c2?aba?b?c（如图3）．
????????x1y2?x2y1 AB??x1,y1?,AC??x2,y2?；
?????AB2????AC2??AB?AC???????2 可由?2?及向量的数量积公式可得??；
p?p?a??p?b??p?c? (其中P?a?b?c2).
第十六题（立几基础题）——推证不漏一个条件
16.1、位置关系证明（主要方法）： （1）线面平行
思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；
II.转化为线线平行； III.转化为面面平行
a//b??????//????a???a//?支持定理 ①b????a//?； ②； ③??a//? ?a???a???a?????? 配图助记
b
????a ???a a ? （2）线线平行：
思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点；
II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.
支持定理
?//???a???a//b??? ①a????a//b；③????a??a//b；④??c//b ??a//b；②
a//c?b???????b?????b???a//?配图助记
?a
b
b?ab??????a?（3）面面平行：
思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；
II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.
数学应试笔记 第28页
a??,b???a????//???支持定理 ①a?b?o???//?；②???//?；③???//?
a???//???a//?,b//???
配图助记
?
????b
a O
a
????????（4）线线垂直：
思考途径 I.转化为相交垂直；
II.转化为线面垂直；
III.转化为线与另一线的射影垂直； IV.转化为线与形成射影的斜线垂直.
支持定理
a???① ??a?bb???；②所成角为90
0
PO???；③a???(三垂线及逆定理)； ??a?PAa?AO??配图助记
a
P
??b O ?
A a
（5）线面垂直：
思考途径 I转化为该直线与平面内任一直线垂直；
II转化为该直线与平面内相交二直线垂直； III转化为该直线与平面的一条垂线平行； IV转化为该直线垂直于另一个平行平面； V转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
支持定理
a??,b???①a?b?O??l???l?a,l?b???；②????l??a???a??,a?l?????；③
a//b??//??；④?a????b?? ?a???a???配图助记
? l
??a
O a l b ? a
????a b
??（6）面面垂直：
思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；