II.转化为线面垂直.
a???a//??支持定理 ①二面角900；②；③??????????
a???a???配图助记
? a
? ? a
? 16.2、求解空间角、距离和体积
(一)求角： （步骤------Ⅰ.找或作平面角；Ⅱ.求角）
?异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；
②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系.
(理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角.)
?直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；
②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin?.
（理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.）
?二面角的求法：
①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；
②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；
③射影法：利用面积射影公式：S'?Scos?,其中?为平面角的大小； 【注】：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；
（理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角.）
（二）求距离：（步骤------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）
?两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算； ?点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解； ?点到平面的距离：
①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解； ②等体积法；
（理科还可用向量法：d?|AB?n||n|.）
?球面距离（步骤）： ①求线段AB的长；
②求球心角?AOB的弧度数； ③求劣弧AB的长.
（三）求体积
常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.
16.3、重要定理
（1）面积射影定理：
S?S'cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S和S,它们所在平面所成锐二面角的为?).
B'（2）三余弦定理：
设AC是?内的任一条直线，AD是?的一内的射影，且BD?AD，垂足为D，设AB与?AD与AC所成的角为?2，AB与AC所成的角为
条斜线AB在?所成的角为?1， ?．则
A?2?1?DC?数学应试笔记 第30页 图1
cos??cos?1cos?2.
（3）三射线定理：
若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos? ；
|?1??2|≤?≤180?(?1??2)(当且仅当??90时
??等号成立). 又设AO与AB所角为?．则
（4）最小角定理 (立平斜公式)：
设AC是?内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的
cos??cos?1cos?2.
【探究】：最小角定理的应用（∠PBN为最小角）
图4简记为：
①成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条． ②成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条．
③成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条． ④成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有．
（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜P
线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜
线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
【提炼】：（1）cos?PAB? cos?PAC?cos?CAB
（2）?PAC相当于斜线与平面所成角 A ?PBC（3）相当于二面角 C
B ? （4）l?AC,l?平面ABC?l?AP（定理）
（5）l?AP,l?平面ABC?l?AC（逆定理）
（6）垂线段最短（前提是在平面外由同一点引的所有线段） （7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）
16.4重要性质
（1）在三棱椎P?ABC中,设顶点P在底面的射影为H，即PH?ABC.
①正三棱椎P?ABC中,则有PA?BC,PB?AC,PC?AB,P在底面的射影是?ABC的中心. ②若PA?BC,PB?AC,则H为ABC的垂心. ③若PA?PB?PC,则H为ABC的外心.
④若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分别为D、E、F且PD=PE=PF. 则点H是△ABC的内心; （2）①若∠POA=∠POB，则PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分线；
②若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别E、F且PE=PF.则点P在面AOB上的射影在∠AOB平分线. 第17题（解几综合题）——从平几中寻突破到解几中找关系
17.1、圆锥曲线中的精要结论： 1.焦半径：(1)椭圆
椭圆
xbxa2222?ya2yb2222?1(a?b?0)：PF1?a?ex0,PF2?a?ex0； （左“+”右“-”）；
?ayb?1(a?b?0)：
a2PF1?e(x0?c22)?a?ex0(x0?0),PF2?e(?1：
c?x0)?ex0?a(x0?0)
(2)双曲线
xa22?“长加短减”原则：
MFMF12?ex0?a?ex0?a 构成满足
MF1?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 双曲线
MFMF12xb22?ya22?1：
?ey0?a?ey0?a；
M?FM?F12??ey0??a??ey0??ap2
(2)抛物线：PF?x0?▲y▲
yM'MF1MxxF1F2M'F22.弦长公式：AB?1?k2?x2?x1??1?1k222(1?k)[(x1?x2)?4x1x2] ?y2?y1?(1?1k2)?[(y?y)?4y1y2]； 122【注】：(1)焦点弦长：i．椭圆：|AB|?2a?e(x1?x2)；
ii．抛物线：AB＝x1?x2?p?(2)通径（最短弦）：i．椭圆、双曲线：
2ba22psin?2；
；
ii．抛物线：2p.
3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx时表示双曲线）； 4.椭圆中的结论：
(1)内接矩形最大面积：2ab；
2?ny2?1 （m,n同时大于0时表示椭圆，mn?0(2)P，Q为椭圆上任意两点，且OP?OQ，则(3)椭圆焦点三角形：
i．S?PFF?btan121|OP|2?1|OQ|2?1a2?1b2 ；
2?2，（???F1PF2）；
|PM||MN|?acii．点M 是?PF1F2内心，PM交F1F2于点N，则(4)当点P与椭圆短轴顶点重合时?F1PF2最大； (5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆
xa22；
xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率是e?ca(c?a?b)22，方程
?yb22?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e22?ca2，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．
225.双曲线中的结论：
(1)双曲线x?2a2ybx?1（a?0,b?0）的渐近线：2?ayb?0；
(2)共渐进线y??bax的双曲线标准方程为
xa22?yb22??(?为参数，?≠0）；
(3)双曲线焦点三角形：
数学应试笔记 第32页
i．S?PF1F2?bcot2?2，（???F1PF2）； y2ii．P是双曲线
－2=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2
2ab的内切圆的圆心横坐标为?a,(a)；
??xx2(4)等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y离心率e?2(渐近线互相垂直)，
．
xa22 (5)共渐近线的双曲线系方程：
xa?yb?0时，它的双曲线方程可设为
xa22?yb22yb22??(??0)的渐近线方程为
xa22?yb22?0如果双曲线的渐近线为
???(??0)．
(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线．
xa22?yb22??与
xa22?ybxa2222???yb22互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
?1，则常用结论
xa22▲?yb22?0．
距离为m = n，
(7) 若P在双曲线
?1：P到焦点的
4y则P到两准线的距离比为m︰n．
PF1321x简证：
d1d2?ePFe2 =
mn．
F153F23常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b． (8) 直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．
若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号． 6.抛物线中的结论：
(1)抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦AB性质：
i．x1x2?ii．
1|AF|p2；14y1y2??p2；
?|BF|?2p ；
iii．以AB为直径的圆与准线相切；
iv．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； v．S?AOB?p22sin?2.
(2)抛物线y2?2px(p?0)内结直角三角形OAB的性质：
i． x1x2?4P,y1y2??4P； ii．lAB恒过定点(2p,0)；
iii．A,B中点轨迹方程：y?p(x?2p)；
iv．OM?AB，则M轨迹方程为：(x?p)?y?p；
2v．(S?AOB)min?4p .
22222
(3)抛物线y2?2px(p?0)，对称轴上一定点A(a,0)，则：
i．当0?a≤p时，顶点到点A距离最小，最小值为a；
ii．当a?p时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2ap?p.
17.2、两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
222x22a?k?y22b?k2?1,其中k?max{a,b}.
22222当k?min{a,b}时,表示椭圆；当min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线.
17.3、圆
1、圆系方程
(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方
程,λ是待定的系数．
(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．
2222(3)过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是
x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数．
2222特别地，当???1时，x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0就是2222(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；
2、点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种
若d?(a?x0)?(b?y0)，则d?r?点P在圆外；
d?r?点P在圆上； d?r?点P在圆内.
222223、直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种(d?d?r?相离???0 ；
222Aa?Bb?CA?B22):
d＝r?相切??＝0； d?r?相交???0.
4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1,O2半径分别为r1,r2，O1O2?d
d?r1＋r2?外离?4条公切线d＝r1＋r2?外切?3条公切线； ；
； ；
内含内切r2-r1相交外切相离r1+r2r1?r2?d?r1＋r2?相交?2条公切线d?r1?r2?内切?1条公切线odddd0?d?r1?r2?内含?无公切线.
5、圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0．
①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
22数学应试笔记 第34页