⑦反函数为y?b?dx；
cx?ac【说明】：分式函数y?ax?b(c?0,ad?bc)与反比例函数y?(c?0)，离心率均为2，同源于
cx?dx2y双曲线x2?2?1.
ab23.三次函数图像与性质初步
*1.定义：形如y?ax?bx?cx?d(a?0)的函数叫做三次函数. 定义域为R,值域为R. *2.解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)；
②零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(x?x3)(a?0)
*3.单调性： 【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题“五点”作图法.
323232f(x)· x在研究二次函
③端点值；④与时，又采用过
那三次函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)的图像及性质，要从那里入
f?(x)手呢？
再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.
y?ax?bx32?cx?d(a?0)
2所以，f?(x)?3ax?2bx?c，导函数对称轴x??b3a.
【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.
??4b2“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点） ?12ac（
2b3ac3a（一）若?令
?4b2?12ac?0
f?(x)?0，由根与系数关系知：x1??b?b?3ac2x2??，x1x22?
,x2?
3a3a（1）当a?0，b?0，c?0，约定d?0，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边.根据零点的个
两极值点：x1??b?b?3ac数，尝试做出如下图像： yy yOOO xxx· · · y yy · · xxOx · OO （2）当a?0，b?0，c?0时，拐点在y轴左边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值； yyy OOO x· · 数学应试笔记 第20页
x· x
（3）当a?0，b?0，c?0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略
（4）当a?0，b?0，c?0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略 （二）若?由
?b3a?4b2y?12ac?0
4b?12ac2x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?9a2知：无极值点，拐O点横坐标仍为
x，所以图像如右图所示.
（三）若??0 即b2?3ac?0时，f'(x)?0在 R上恒成立， 即
(??,??)为增函数.
f(x)?b3a在
x (-∞， + ↗ ?b3a) ?b3a （，+∞) f'(x)的符号 f(x)的单调性 0 + ↗ *4.极值：
函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系
(1)若b2?3ac≤0，则f(x)在R上无极值；
(2) 若b?3ac?0，则f(x)在R上有两个极值；且f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得
极小值.
*5.零点个数(根的性质)
函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)的图像与x轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？ （联系函数的极值，进行等价转化）
一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”； 两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零； 三个交点：极大值大于零，极小值小于零.
D2.几个重要图像
1.y?ax?b（a?b?0） 2.y?ax?b（a?b?0）
y322y??ax?bOy?ax?bx(?b,0)a
3.y?x?a?x?b（a?b?0） 4.y?x?a?x?b（a?b?0）
y?2x?a?b l??b2xa?a?b B?2x?a?b Aa?b a O?a?bb Mxa b 5.x?a?y?b?m 6.x?a?y?b?m
（a,b?m） （a,b?m）
（a,b） （a,b） （a?m,b） （a?m,b）
D3.函数y?F(x)?f(x)?g(x)的零点处理：
（1）y?F(x)的零点（不是点而是数）?F(x)?0的根
?y?F(x)与x轴的交点的横坐标 ?y?f(x),y?g(x)的交点问题.
（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.
（3）零点存在定理：y?f(x)单调且端点值异号??x0?(x1,x2)使f(x0)?0.
【说明】：
1.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)?0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地，方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内，等价于f(k1)f(k2)?0，或f(k1)?0且k1??b2a?k1?k222，或f(k2)?0且
k1?k22??b2a?k2.
2.f?x?在?a,b?上连续，且f?a?f?b??0，则f?x?在?a,b?上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.f?a?f?b??0，f?x?在?a,b?上可能无零点也可能有无数个零点. 3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对?x,0?. D4.比例的几个性质 ①比例基本性质：②反比定理：④合比定理；
abab??ababcdcd??cd?ad?bc； b?d??cdaca?bb?； ③更比定理：
?c?dd?abab??abcdcd???cda； ⑤分比定理：
cda?bb??b；
?c?dd?； ；
⑥合分比定理：
a?ba?bc?dc?d；⑦分合比定理：
a?ba?bc?dc?d数学应试笔记 第22页
⑧等比定理：若
a1b1?a2b2?a3b3???anbn，b1?b2?b3???bn?0，则
a1?a2?a3???anb1?b2?b3???bn?a1b1.
D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理）
在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD①若AD是BC上的中线，ma②若AD是∠A的平分线，ta③若AD是BC上的高，ha?2?2AC2BD?ABBCBC2?BD?DC．
??2a1222b2?2c2?a；
，其中p为半周长； ，其中p为半周长．
Ab?cbc?p?p?a?p?p?a??p?b??p?c?（2）三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点)：
????1????????????①O为?ABC的重心?PO?(PA?PB?PC) ??????????????OA?OB?OC?0
????????????????????????②O为?ABC的垂心?OA?BC?OB?CA?OC?AB??????????????????????????OA?OB?OB?OC?OC?OA ????2????2????2????2????2?OA?BC?OB?CA?OC?????????????AB????ACBA③O为?ABC的内心?OA?(???????)?OB?(????|AB||AC||BA|3B0
MFHC????2?AB； ?????????????BCCACB???)?OC?(???????)
|BC||CA||CB|???????????????????????????????????????(|AB|?|BC?|CA|)PO?|BC|PA?|CA|PB?|AB|PC?0 ?????????????????????????????????????④O为?ABC的外心?(OA?OB)?AB?(OB?OC)?BC?(OC?OA)?CA?0
?????????????????????????????????????????????????OA?AB?OB?BA,OB?BC?OC?CB,OC?CA?OA?AC
???2???2???2?????????????????????⑤O为?ABC中?A的旁心?|BC|OA?|AC|OB?|AB|OC；
?OA?OB?OC；
D6.含绝对值不等式
(1)复数集内的三角形不等式：
z1?z2≤z1?z2≤z1?z2
其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号. (2)向量不等式：
??????||a|?|b||≤|a?b|≤|a|?|b|
??????????????????? b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|≥||a|?|b||?|a?b|； 【注意】：a、???????????????????a、 b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|≥||a|?|b||?|a?b|； ??????????????a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.(这些和实数集中类似)
(3)代数不等式：
a,b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|≥|a|?|b|?|a?b|；
a,b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|≥|a|?|b|?|a?b|.
D7.重要不等式
221、和积不等式：a,b?R?a?b≥2ab(当且仅当a?b时取到“?”)．
【变形】：①ab≤(a?b2)≤2a?b2ab≤22（当a = b时，(a?b2?a?b2)?a?b22a?b2222?ab）
【注意】：
222(a,b?R)，ab≤()(a,b?R)
②3(a?b?c)≥(a?b?c)2≥3(ab?bc?ca) (当且仅当a?b?c时取“=”号)．
2、均值不等式：
两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
21a?1b?2aba?b≤ab≤a?b2≤a?b222 （当且仅当a?b时取“?”）【拓展】：
①幂平均不等式：
a1?a2?...?an≥2221n(a1?a2?...?an)(a,b,c?R,a?b?c时取等)
2② “算术平均≥几何平均（a1、a2?an为正数）”：
a1?a2???ann≥na1a2?an（a1=a2=?=an时取等）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
①a3?b33≥ab?ab
32223322②a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?ac?bc)
； ?a?b?c≥3abc（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）
333abc≤a?b?c3 ?abc≤(a?b?c3)≤3a?b?c3333
4、柯西不等式：
①（代数形式）设a,b,c,d均为实数，则
(a?b)(c?d)≥(ac?bd)，其中等号当且仅当ad?bc时成立.
22222②（向量形式）设?，?为平面上的两个向量，则|?|?|?|≥|???|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.
③（三角形式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：
(x1?x2)?(y1?y2)?22(x2?x3)?(y2?y3)≥22(x1?x3)?(y1?y3) 【思考】：
22三角形不等式中等号成立的条件是什么？
④（推广形式）设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则
(a1b1?a2b2???anbn)≤(a1?a2???an)(b1?b2???bn)
2222222等号成立当且仅当
a1b1?a2b2???anbn时成立．（约定ai?0时，bi?0）
5、绝对值不等式：a1?a2?a3≤a1?a2?a3
a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)
双向不等式：a?b6、放缩不等式：
≤a?b≤a?b
（左边当ab≤0(≥0)时取得等号，右边当ab≥0(≤0)时取得等号.）
b?ma?mbab?ma?m①a?b?0，a?m?0，则【说明】：
ba?b?ma?m??.
（a?b?0,m?0，糖水的浓度问题）.
ba?b?ma?m?1?a?nb?n?ab【拓展】：a?b?0，m?0，n?0，则②a,b,c?R，
?.
ba?dc，则
ba?b?da?c?dc；
数学应试笔记 第24页