2013版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概
率、随机变量及其分布 11.3随机变量及其分布
【高考新动向】
一、离散型随机变量及其分布列 1．考纲点击
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 2．热点提示
（1）高考中对本节考查的重点是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有关内容； （2）多以选择、填空的形式考查分布列的特点、服从超几何分布的随机变量的概率。 二、二项分布及其应用 1．考纲点击
（1）了解条件概率和两个事件相互独立的概念； （2）理解n次独立重复试验的模型及二项分布； （3）能解决一些简单的实际问题。 2．热点提示
（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率； （2）在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均值与方差等。 三、离散型随机变量的均值与方差 1．考纲点击
（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；
（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 2．热点提示
（1）以选择、填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算； （2）以实际问题为背景，考查均值与方差的应用。 四、正态分布
1．考纲点击
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 2．热点提示
以选择、填空题的形式考查正态分布曲线的特点及概率。
【考纲全景透析】
一、离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，?,?，??表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列及性质
（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,,xi,,xn,X取每一个值
xi(i?1,2,X P ,n)的概率P(X?xi)?pi，则表
x1 p1 x2 p2 ?? ??
xi pi ?? ?? xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X?xi)?pi,i?1,2,,n表示X的分布列。
（2）离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0（i?1,2,②
； ,n）
?pi?1ni?1。
注：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。
3．常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为称为成功概率。
（2）超几何分布
，其中p?P(X?1)在含有M件次品的N件新产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的
kn?kCMCN?M概率为P(X?k)?,k?0,1,2,nCN,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,
称分布列
X P 0 0n?0CMCN?M nCN1 1n?1CMCN?M nCN?? m mn?mCMCN?M nCN
为超几何分布列。 二、二项分布及其应用 1．条件概率及其性质 （1）条件概率的定义
设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
注：条件概率不一定等于非条件概率。若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。 （2）条件概率的性质 ①0≤P（B|A）≤1；
②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。 2．事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。 3．独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i?1,2,第i次试验结果，则P(A1A2A3,n)表示
An)?P(A1)P(A2)P(A3)P(An).
（2）二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）
kk=Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,，,n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p）
并称p为成功概率。
三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ?? ??
xi pi ?? ?? xn pn （1）均值
称EX=x1p1+x2p2+??+xipi+??+xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
（2）方差 称DX=
?(x?EX)ii?1n2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均
偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差，记作?X。
注：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差。
2．均值与方差的性质 （1）E(aX+b)=aEX+b
(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差
（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p). （2）若X～B（n,p），则EX=np.DX=np(1-p). 四、正态分布 1.正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
?1函数??,?(x)?e2??(x??)22?2,x?(??,??),其中实数?和?（?>0）为参数，我们
称??,?(x)的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。
注：?是正态分布的期望，?是正态分布的标准。 （2）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x=?对称； ③曲线在x=?处达到峰值
1 2??④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当?一定时，曲线随着?的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当?一定时，曲线的形状由?确定。?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a （2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值 ①P（?-?＜X≤?+?）=0.6826; ②P(?-2?＜X≤?+2?)=0.9544; ③P(?-3?＜X≤?+3?)=0.9974. 2????(x)dx,则称X的分 a,b