（3）3?原则
通常认为服从于正态分布N(?,?2)的随机变量X只取（?-3?，?+3?）之间的值，并简称为3?原则。
正态总体几乎总取值于区间（?-3?，?+3?）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。
【热点难点精析】
一、离散型随机变量及其分布列 （一）随机变量的概念 ※相关链接※
1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。
2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。 3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。
※例题解析※
〖例〗写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 （1）一个口袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为?。 （2）投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y。
思路解析：（1）3个球中，可能有1个白球，也可能有两个，还可能没有。（2）投掷结果为(i,j)，其中1?i?6,1?j?6且i,j?N。利用投掷结果确定X，Y。
解答：（1）?可取0，1，2。
?=0表示所取3个球中没有白球；
?=1表示所取3个球中有一个白球，2个黑球； ?=2表示所取3个球鞋中有2个白球，1个黑球。
（1）X的可能取值2，3，4，5，??，12。Y的可能取值为1，2，3，??，6。若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数。则X=2表示（1，1），X=3表示（1，2），（2，1），X=4
表示（1，3），（2，2），（3，1），??，X=12表示（6，6）；
Y=1表示（1，1），Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2），??，Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），??，（6，6），（6，5），??，（6，1）。
（二）离散型随机变量的分布列 ※相关链接※
1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取植，第2行是对应的变量的概率。
2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格。
注：分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。
※例题解析※
〖例〗一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3球鞋，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。
思路解析：确定X的所有取值?求出随机变量X对应的概率?写出随机变量X的分布列。
解答：随机变量X的取值为3，4，5，6，从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C6，事件“X=3”包含的基本事件总数为C3，事件“X=4”包含的基本事件总数为C1C3；事件“X=5”包含的基本事件总数为C1C4；事件“X=6”包含的基本事件总数为C1C5；从而有
12123312
∴随机变量X的分布列为：
X P 3 4 5 6 1 203 203 101 2（三）离散型随机变量分布列的性质 〖例〗设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0．2 1 0．1
求：（1）2X+1的分布列； （2）|X-1|的分布列。
思路解析：先由分布列的性质，求出m，由函数对应关系求出2X+1和|X-1|的值及概率。 解答：由分布列的性质知： 0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为:
X 2X+1 |X-1| 0 1 1 1 3 0
从而由上表得两个分布列为: （1）2X+1的分布列：
2 5 1 3 7 2 4 9 3 2 0．1 3 0．3 4 m
（2）|X-1|的分布列：
注：利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。
（四）利用随机变量分布解决概率分布问题
〖例〗某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（I2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）记?表示抽取的3名工人中男工人数，求?的分布列及数学期望。
解析：（1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意 此分层抽样与性别无关。
（2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
11C4?C68P??2C15 10 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（3）?的可能取值为0，1，2，3
1111221C3C4C6C3C4C4C2628P(??0)?2?1?P(??1)?2?1?2?1?C10C575，C10C5C10C575，
1C62C21031P(??3)?2?1?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?C10C575，75
分布列及期望略.
二、二项分布及其应用 （一）条件概率 ※相关链接※ 条件概率的求法
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）=P（AB）/P（A）。
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)= n(AB)/ n(A).
※例题解析※
〖例〗1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?
思路解析:本题可分为两种互斥的情况:一是从1号箱取出红球;二是1号箱取出白球.然后利用条件概率知识来解决.
解答:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球. 则
1.P(A|B)=(3+1)/(8+1)=4/9.P(A|B)=3/(8+1)=1/311113.从而P(A)=P(AB)+P(AB)= P(A|B) P(B)+ P(A|B)P(B)=4/9×2/3+×=.
3327P(B)=4/(2+4)=2/3,P(B)?1?P(B)?(二)事件的相互独立性 ※相关链接※
1.判断事件是否相互独立的方法 (1)利用定义:
事件A、B相互独立?P(AB)=P(A)·P(B).
(2)利用性质:A与B相互独立,则A与B,A与B, A与B也都相互独立. (3)具体背景下:
①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.
②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
2.在解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件A、B，它们的概率分别为P（A）、P（B），则