A、B中至少有一个发生的事件为A∪B； A、B都发生的事件为AB； A、B都不发生的事件为AB；
A、B恰有一个发生的事件为AB∪AB；
A、B中至多有一个发生的事件为AB∪AB∪AB。
注:两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.学习中要注意两者的区别,以免出现计算错误.
※例题解析※
〖例〗甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则
1一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为2，且
各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数?的分别列与期望E?. 解析：令
Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
P(A1C2B3)?P(B1C2A3)?111?3?.3224
（Ⅱ）?的所有可能值为2，3，4，5，6，且
P(??2)?P(A1A2)?P(B1B2)?111?2?,2222
111P(??3)?P(ACC)?P(BCC)??3?.1231233224
111P(??4)?P(A1C2B3B4)?P(B1C2A3A4)?4?4?.228
111P(??5)?P(A1C2B3A4A5)?P(B1C2A3B4B5)?5?5?,2216
P(??6)?P(ACC2A3B4C5)?12B3A4C5)?P(B1111??,252516
故有分布列
? 2 3 4 5 6 P 12 14 18 116 116 1111147E??2??3??4??5??6??248161616（局）. 从而
(三)二项分布 ※相关链接※ 1.二项分布满足条件
(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. 2.解决概率问题的步骤 (1)记“事件”或设“事件”.
(2)确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给问题归结为四类事件中的某一种.
(3)判断事件的运算是和事件还是积事件,即事件是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘公式.
(4)运用公式进行计算. (5)简明写出答案. ※例题解析※
〖例〗某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
(2)任选3名下岗人员,记?为3人中参加过培训的人数,求?的分布列. 思路解析:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式;(2)应用二项分布求解.
解答:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加计算机培训”为事件B，由题意知，A与B相互独立，且P（A）=0.6,P(B)=0.75.所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为
P(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.6)(1.0.75)=0.1 ∴该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3保参加过培训的人数?服从二项分布,即
?～B(3,0.9),P(?=k)=C3k0.9k?0.13?k,k?0,1,2,3,∴?的分布列为 ? P 0 0.001 (四)独立重复试验
〖例〗甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是
1 0.027 2 0.243 3 0.729 23和。假设两人射击是否击34中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击. 问:乙恰好射击5次后,补中止射击的概率是多少?
思路解析:(1)至少一次未击中,包含情况多,可求其对立事件的概率; (2)甲恰好击中目标2次与乙恰好击中目标3次相互独立;
(3)乙恰好射击5次被中止,相当于前2次射击至少有一次击中,第3次击中,第4次、第5次未击中.
解答:(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意,射击4次相当于作4次独立重复试验.故P(A1)=1-P(A1)=1-(
2465)=, 38165所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为
81(2)记“甲射击4次，恰有2次击目标”为事件A2， “乙射击4次，恰有3次击中目
标”为事件B2，
2282P(A2)?C4?()2?(1?)4?2?,3327
则
33273P(B2)?C4?()3?(1?)4?3?,4464由于甲、乙射击相互独立， 故P(A2B2)?P(A2)P(B2)?8171??。 2764818所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为。 （3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件
Di(i?1,2,3,4,5),则A3?D5D4D3(D2D1独立，故
D2D11D2D1),且P(Di)?.由于各事件相互
4P(A3)?P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1?D2D1?D2D1)1131145????(1??)?.444441024所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为
45。 1024注：（1）独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。（2）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=Cnp(1?p)各是多少。
三、离散型随机变量的均值与方差的计算 （一）离散型随机变量均值与方差的计算 ※相关链接※
求离散型随机变量?均值与方差的方法： （1）理解?的意义，写出?可能取的全部值； （2）求?取每个值的概率； （3）写出?的分布列；
kkn?k,k?0,1,2,,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k
（4）由均值的定义求E?； （5）由方差的定义求D?。
注：（1）随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和。 （2）均值（数学期望）是随机变量的一个重复特征数，它反映或刻画的是随机变量值的平均水平，均值（数学期望）是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。
（3）EX是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的。 ※例题解析※
〖例〗甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
2，乙队中3人答对的概率分别为3221,,且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. 332（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
解答：(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
21222P(??0)?C03?(1?)3?,P(??1)?C13??(1?)2?,32733922234238 23P(??2)?C3?()?(1?)?,P(??3)?C3?()?.339327所以ε的分布列为
ε P ε的数学期望为
0 1 2 3 1 272 94 98 271248?1??2??3??2. 2799272解法二：根据题设可知?～B(3,)
3 Eε=0?因此ε的分布列为