2k2k22?kkP(??k)?C3?()?(1?)?C3?3,k?0,1,2,3.333
22因为?～B(3,),所以E??3??233k（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又
2?211121211?2P(C)?C23?()2?(1?)???????????3?332332332?310 ?4,321114P(D)?C23?()2?(??)?5,33323由互斥事件的概率公式得
P(AB)?P(C)?P(D)?1043434 ??5?43532433.解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3
由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
22311111222()?(2?)?C33?(?2??C12?2)32323233=34 ?.243注：求离散型随机变量分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量的分布列，关键是概率类型的确定与转化，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等。
（二）均值与方差的实际应用 ※相关链接※
1．DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用DX来描述X的分散程度。
2．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值
的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。
※例题解析※
〖例〗现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
111、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在623每次调整中，价格下降的概率都是p(0 （1）求X1，X2的概率分布列和均值EX1，EX2； （2）当EX1＜EX2时，求p的取值范围。 思路解析：（1）求分布列，应先确定X2的取值，再求X2的取值对应的概率； （2）由EX1＜EX2，找出关于p的不等式，即可求出p的范围。 解答：（1）方法一：X1的概率分布列为 X1 P 1．2 1．18 1．17 1 61 21 3111EX1=1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 623由题设得X～B（2，p），即X的概率分布列为 X p 0 (1-p)2 故X2的概率分布列为 1 2p(1-p) 2 P2 X2 P 所以X2的均值列为 1．3 (1-p) 21．25 2p(1-p) 0．2 P 2EX2=1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 方法二: X1的概率分布列为 X1 P 1．2 1．18 1．17 1 61 21 3111EX1=1．2×+1．18×+1．17×=1．18。 623设Ai表示事件“第i次调整，价格下降”（i=1，2），则P(X=0)=P(A1)P(A2)=(1-p)2, P(X=1)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=2p(1-p), P(X=2)=P(A1)P(A2)=P2. 故X2的概率分布列为 X2 P 所以X2的均值列为 1．3 (1-p)2 1．25 2p(1-p) 0．2 P2 EX2=1．3×(1-p)2+1．25×2p(1-p)+ 0．2×P2=- P2-0.1p+1.3 (2)由EX1＜EX2,得- P2-0.1p+1.3＞1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3) ＜0, 解得-0.4＜p＜0.3. 因为0＜p＜1,所以当EX1＜EX2时,p的取值范围是0＜p＜0.3. (三)均值与方差性质的应用 〖例〗设随机变量?具有分布E(?+2)2,D(2?-1),?(?-1). 思路解析:利用性质E(a??b)?aE??b,D(a??b)?aD?. 解答: 2P(?=k)= 1,k=1,2,3,4,5,求51111115E??1??2??3??4??5???3,55555511111E?2?1???22??32??42??52??11,55555111111D??(1?3)2??(2?3)2??(3?3)2??(4?3)2??(5?3)2??(4?1?0?1?4)?2, 555555E(??2)2?E(?2?4??4)?E?2?4E??4?11?12?4?27.D(2??1)?4D??8?(??1)?D(??1)?D??2.注: ?是随机变量,则??f(?)一般是随机变量,在求?的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求?的分布列带来的繁琐运算. 四、正态分布 （一）正态分布下的概率计算 ※相关链接※ 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 （1）熟记P(????X????),P(??2??X???2?),P(??3??X???3?)的值。 （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。 注：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x??，而不是 x?0(??0)。 ※例题解析※ 〖例〗设X～N（5，1），求P（6＜X＜7）。 思路解析：根据P(????X????)，求P（4＜X＜6）→根据 P(??2??X???2?)，求P（3＜X＜7）→根据正态曲线对称性，求P（6＜X＜7） 解答：由已知??5,??1. ∵P（4＜X＜6）=0.6826, P（3＜X＜7）=0.9544. ∴P（3＜X＜7）+ P（6＜X＜7）=0.9544-0.6826=0.2718. 如图, 由正态曲线的对称性可得P（3＜X＜4）= P（6＜X＜7） ∴P（6＜X＜7）= 0.2718?0.1359. 2（二）正态曲线的性质 ※相关链接※ 正态曲线指的是一个函数的图象，其函数解析式是??,?(x)?的性质告诉我们： （1）该函数的值域为正实数集的子集； （2）该函数的图象关于直线x??对称，且以x为渐近线； （3）该函数在x??时取得最大值； （4）解析式中前面有一个系数1e2??(x??)22?2。正态曲线 1，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2??(x??)2指数为?，其中?这个参数在解析式中的两个位置上出现，注意两者的一致性。 22?※例题解析※ 〖例〗如图是一个正态曲线。 试根据该图象写出其正态曲线函数解析式，求出总体随机变量的期望和方差。 思路解析：给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式。