解答：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是12?，所
以??20。
12??12?e??12?，解得??2。于是正态分布密度函数的解析式是：
f(x)?(x?20)24,x(??,??).总体随机变量的期望是??20，方差是
?2?(2)2?2。
（三）正态分布的应用
〖例〗设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X且知满分150分，N(110,202)，
这个班的学生共54人。求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数。
思路解析：要求及格的人数，即求出P（90≤X≤150），而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解。
解
答
：
因
为
X2N(110,20)，所以
??110,??20.P(110?20?X?所以，X?130的概率为
110??20) 0.6821(1?0.6826)?0.1587. 2所以，X?90的概率为0.6826+0.1587=0.8413.
所以及格的人数为54×0.8413≈45(人),130分以上的人数为54×0.1587≈9(人). 注:正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据?和?的不同取值得到不同的图象,特别地,当??0时,图象关于y轴对称.
【高考零距离】
1. （2012·北京高考文科·Ｔ17）与（2012·北京高考理科·Ｔ17）相同
（2012·北京高考文科·Ｔ17）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 30 20 100 240 20 100 30 60 （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a＞0，a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。
1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2?n（注：
?(xn?x)2]其中x为数据x1,x2?，xn的平均数）
【解题指南】第（1）问厨余垃圾投放正确即厨余垃圾投入到“厨余垃圾”箱内；第（2）问，可以先求对立事件“生活垃圾投放正确”的概率；第（3）问，先求出平均数，再写出方差表达式。方差最大也就是数据相对于平均数的波动最大。
P?【解析】（1）
4008?4509。
P?1?（2）
400?240?603?100010。
1x?(a?b?c)?2003（3）数据a,b,c的平均数为， 1s2?[(a?200)2?(b?200)2?(c?200)2]3方差，
可以令a=600,b=0,c=0，此时方差最大，最大值为80000。
2. （2012·湖南高考文科·Ｔ13）图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的
0891035茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.图2
s2?(注：方差均数)[来
122?(x?x)?(x?x)?12n??(xn?x)2??，其中x为x1，x2，?，xn的平
【解题指南】本题考查统计中的茎叶图、方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.先求平均数，再求方差。
1x?(8?9?10?13?15)?115【解析】， s2?122222??(8?11)?(9?11)?(10?11)?(13?11)?(15?11)???6.85.
答案：6.8
3.（2011·福建卷理科·Ｔ19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，??，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1 5 0.4 6 7 b 8 0.1 p a 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望. （Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
产品的等级系数的数学期望产品的零售价注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性. 【答案】（I）因为又由
EX1＝6,所以5?0.4?6a?7b?8?0.1?6,即6a?7b?3.2，
X1的概率分布列得0.4?a?b?0.1?1,即a?b?0.5.
?6a?7b?3.2?a?0.3??a?b?0.5b?0.2. ?由，解得?（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
X2 P
3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数下：
X2的概率分布列如
X2 f 所以
3 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.1 8 0.1 EX2?3?0.3?4?0.2+5?0.2+6?0.1+7?0.1+8?0.1＝4.8，
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
6＝1因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为6. 4.8＝1.2.4因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为所
以乙厂的产品更具可购买性.
4. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标
值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 频数 ?90,94? ?94,98? ?98,102? ?102,106? ?106,110? 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 频数 ?90,94? ?94,98? ?98,102? ?102,106? ?106,110? 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
??2, t?94,?y??2, 94?t?102,?4, t?102.?
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
22?8=0.3【答案】（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为100，所以用A
配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
32?10?0.42由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为100，所以用B配方生产
的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X -2 P 0.04 2 0.54 4 0.42 ?90,94?,?94,102?,?102,110??X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在