人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
第6课时 21.2.4. 一元二次方程根与系数的关系
教学目标：了解根与系数的关系，会运用根与系数关系解决有关问题。 教学重点：一元二次方程根与系数的关系的运用 教学难点：探究一元二次方程根与系数的关系 教学过程 一、自主学习
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2+6x-16=0 x2-2x-5=0 2x2-3x+1=0 5x2+4x-1=0 二、解答问题
1．若x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根，结合上表，说明两根之和x1+x2与两根之积x1·x2与系数p和q有何关系？请你写出关系式
2
2．若x1、x2为方程ax+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明两根之和两根之积x1+x2与x1·x2与系数a、b、c有何关系？请你写出关系式
3.请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？
4.如何证明以上结论？请证明．
归纳：
22
1．如果方程x+px+q=0（p、q为已知常数，p－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
2．韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么
x1+x2=__ __， x1x2=__ __．
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注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________ 三、巩固练习
1. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2．（2016·四川攀枝花）设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则
+
的值为 ．
3. （2016·山东德州）方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．
4. （2016·湖北黄石）关于x的一元二次方程x+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
5．（2016·四川南充）已知关于x的一元二次方程x﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m的取值范围；
2
2
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
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第7课时 21.3. 实际问题与一元二次方程
①倍数关系问题
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 教学重点：建立方程模型解决实际问题 教学难点：分析实际问题中的数量关系 教学过程
一、知识链接
1.列方程解应用题的步骤：
① .② . ③ . ④ . ⑤ . ⑥ . 2. 据调查，初春是流感盛行的季节，
（1）经研究流感在每轮传染中平均一个人传染10人，请问:一人患流感一轮传染后共有 人患了流
感；经过两轮传染后共有 人患了流感。
（2）如果设流感在每轮传染中平均一个人传染x人，请问:一人患流感一轮传染后共有 人患了
流感；经过两轮传染后共有 人患了流感。 二、解答问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析: 设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
则第一轮传染后共有 人患了流感，第二轮传染后共有 人患了流感. , 列方程得： 。
解方程,得 。
检验： 。 答: . 归纳：解一元二次方程应用题的一般步骤： （1）审： ； （2）设： ； （3）列： ； （4）解： ； （5）验： ； （6）答： 。
三、巩固练习
1．(2014年天津市)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．
x（x+1）=28 B．
x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=28
2.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
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3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
4.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
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第8课时 21.3. 实际问题与一元二次方程
②增长率问题
教学目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题 教学重点：建立方程模型解决实际问题 教学难点：分析实际问题中的数量关系 教学过程
一、解答问题
（一）1.某厂今年一月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量列式为 ；三月份总产量列式为 。
2.某厂今年一月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：
二月份总产量列式为 ；三月份总产量列式为 。
3.某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：
第一次降价后的价格列式为____ ____；第二次降价后的价格列式为__ _____。
4.某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：
第一次降价后的价格列式为_____ ___；第二次降价后的价格列式为____ ___。 归纳：平均增长率（或平均降低率）问题：（n为相距时间）
原数（1 ＋ 平均增长率）n= 。
原数（1 － 平均下降率）n= 。 （二）教材P19探究2
问题1：若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表
两年前1吨 一年后甲种 两年后甲种 根据题意列出一元二次方程 甲种药品成本 药品成本 药品成本 甲种药品 ① 问题3：请解出方程①，得x1= ；x2= 。
问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？
。
问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大。
两年前1吨 乙种药品成本 一年后乙种 药品成本 两年后乙种 药品成本 根据题意列出一元二次方程 ② 乙种药品 请解出②，得x1= ；x2= 。
问题6： 种药品的下降率较大。
注意：关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a，设平均变化率为x，经第一次变化后数据为a(1?x)；经第二次变化后数据为a(1?x)2，增长为加、降低为减。在依题意列出方程并解得x值后，还要依据0?x?1的条件，做符合题意的解答。 二、巩固练习
3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ．
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