人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
3．如下图，观察图象：
（1）一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△__ 0,方程的两个根为
2
二次函数y＝x＋x－2的图象与x轴有____个交点，交点坐标为____ ___ 。
（2）一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△__ 0；方程的根为 ，二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有__ _个交点，交点坐标为___ ___。
（3）一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△____ 0．方程根的情况为 ，二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴 交点。
归纳: 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系：
1.（1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有 交点； （2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有 交点； （3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 交点． 2.一元二次方程ax2?bx?c?0的根就是对应的二次函数y?ax2?bx?c与x轴交点的 坐标 y＝x2－x+1 y＝x2－6x+9 y＝x2+x-2
三、巩固练习
1.（2013甘肃兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．b﹣4ac＞0
2
B．a＞0 C．c＞0 D．
2.（2013?巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. ac＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小
C. b﹣2a=0 D. x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
3.（2013?苏州）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ） A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=1，x2=2 C． x1=1，x2=0 D． x1=1，x2=3 4. (2014?山东)若函数y=mx2+（m+2）x+ A．0
B．0或2
1m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ） 22或﹣2
D． 0，2或﹣2
C．
第 36 页 共 156 页
人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
第19课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【教学目标】
1. 能根据图象判断二次函数a、b、c的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。 【教学重点】根据图象判断二次函数a、b、c的符号
【教学难点】根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。 【学习过程】 一、自主学习：
抛物线y?x2?2x?3与y轴的交点坐标分别是 ,与x轴的交点坐标是 。 抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点坐标是 . 二、解答问题
1.已知抛物线y?ax2?bx?c的图象如图所示 ① 图象开口向上，所以可以判断a 。
② 对称轴是直线x= ，由图象可知对称轴在y轴的右侧，则x>0，即 >0，
当a 0时，可以判断 b 0.
③ 因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c 0.
④ 抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点，所以b2?4ac 0； 归纳：二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 ⑴a的符号由 决定： ①开口向 ? a 0； ②开口向 ? a 0.
⑵c的符号由 决定： ①点（0，c）在y轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c）在原点 ?c 0； ③点（0，c）在y轴负半轴 ?c 0. ⑶b的符号由 决定： ① 在y轴的左侧 ?a、b ； ② 在y轴的右侧 ?a、b ； ③ 是y轴 ?b 0.
⑷b2?4ac的符号由 决定：
①抛物线与x轴有 交点? b2?4ac 0 ?方程有 实数根； ②抛物线与x轴有 交点?b2?4ac 0 ?方程有 实数根； ③抛物线与x轴有 交点?b2?4ac 0 ?方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. 2.抛物线y?ax2?bx?c如图所示,看图填空： （1）2a?b=_____； （2）a?b?c?????； （3）a?b?c?????；（4）4a?2b?c?????； （5）4a?2b?c?????；（6）9a?3b?c????0。
第 37 页 共 156 页
2
人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
三、巩固练习
1.（2013?广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
2
①abc＞O，②2a+b=O，③b﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是（ ） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ②③④
2.（2013济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大
3.（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ） A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
4.（2016·黑龙江）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5.（2016贵州毕节）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
第 38 页 共 156 页
人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
第20课时 22.3实际问题与二次函数 (一)
最大面积问题
教学目标：
1．会结合二次函数的图象分析问题、解决问题。 2．在运用中体会二次函数的实际意义。 重难点：
1．重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题
2．难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题 一、知识链接
二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是_____________，顶点坐标是______________； 当x=_____时，函数有最_____值，是_____________。 二、自主学习(仔细阅读教材49页问题)
问题 从地面竖直向上抛出一小球,小球高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的关系式是
2
h=30t-5t(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?最大高度是多少?
(1)利用图像解决问题: 函数图像是一条 ,开口向 ,顶点是 ,图像的端点是 ,
在下图中画出函数图像.
(2)从图像可知小球的最大高度就是函数顶点的 坐标,最大高度是 m,此时的运动时间就是顶点的 坐标,运动时间为 s.
归纳: 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最 点,也就是当x= 时,二次函数y=ax2+bx+c有最 值是 . 三、解答问题 问题： 现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,矩形场地面积S最大,最大面积是多少?
第 39 页 共 156 页
人教版义务教育教科书 九年级数学教学案
四、巩固练习
1．（2016·四川内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
18m 苗圃园
2.(2013山东日照)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.
第 40 页 共 156 页