数列串讲
知识与考点：
1.等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd． ⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … ． ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1），则a = ． 5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．
⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为 ． ⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ． ⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小． 3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
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⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．． ⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列． ⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积． ⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列． 4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ． ⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列．
主要问题及提示：
（1）对等差数列和等比数列的基本性质、通项、前n项和的考查；
提示：知三求二型（已知等差或等比，考查其中五个基本量：首项、公差（比）、项数、an、Sn），联立方程组求解必需检验； （2）等差、等比数列的证明
提示：①要先求首项，再将已知条件式转化为关于所求数列的递推关系式（比如含Sn,an的关系式
,n?1?S1要依据要证的数列，利用an??转化成关于{Sn},{an}的递推关系）。然后依定义对前后项
S?S,n?1n?1?n做差或做比，用前两项检查所得常数是否正确。
②若得出递推关系是三项之间的中项关系，要用递归依定义对前后项做差或做比，用前两项
检查所得常数是否正确。
（3）求数列的项或前n项和的最值获取值范围
2
提示：求数列项的最大值，首选数列相邻项an?1,an的作差比较，确定数列的单调性求最值，其次是利用函数（但是注意符合，需设函数f(x)），还可以试值猜测，然后用数归证明. （4）在递推关系式或新定义下求某一项的值或求通项
提示：①有关求通项的问题，可以写出几项猜，然后数学归纳法证明；构造转化为等差等比或用等差等比求通项的方法——累加、累积求通项。
② 注意用前两项检验结论
（5）数列求和
提示：①有关求和的问题，借助等差等比公式求和（采用分段，重组等方法）；裂像求和；乘公比错位减求和；猜想数归证明
②注意用前两项检验结论 ③注重数列前n项和概念的使用
（6）对含参数的数列，在等差或等比的条件下求参数；讨论最值；在项或和的不等式的恒成立条件下求参数范围；
提示：已知数列成等差或等比求参数的问题，可以先由前三项求参数再进行证明。 （7）数列中的不等式证明；（放缩为可处理数列或归纳法） 提示：①数列中的不等式问题，可构造函数解决；
②对于关于含n项和的不等式，一是考虑数归证明，二是考虑放缩成可求和的数列化简求和。
等差数列、等比数列同步练习题
等差数列
王丹
一、选择题
1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（ ） A、89 B、 -101 C、101 D、-89
2． 等差数列{an}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的 （ ） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中
3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、 4 B、 5 C、 6 D、不存在
3
4、等差数列{an}中，a1+a7=42， a10-a3=21， 则前10项的S10等于（ ） A、 720 B、257 C、255 D、不确定
5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ）
A、 B、 C、或 1 D、
6、 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数 列{Cn}，其通项公式为 （ ）
A、 Cn=4n-3 B、 Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9
7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（ ） A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项
8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100， 则数列{an+bn}的前100项和为（） A、 0 B、 100 C、10000 D、505000
[高二数学答案]
1． A 2、 B 3、B 4、C 5、B 6、 D 7 、 A 8、 C
二、填空题
9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。 10、 在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。
11． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到
4
a30的和是 ______ 。
12． 已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。 三、解答题
13． 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145 求： a1+a3+a5+……+a99的值
14． 已知等差数列{an}的首项为a，记
(1)求证：{bn}是等差数列
(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的 公差。
15． 在等差数列{an}中，a1=25， S17=S9
(1)求{an}的通项公式
(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。
16、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。
[高二数学答案]
二、填空题 9、 n 10、 80 11、-368
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