列命题中真命题是A
A. 若?n?N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等差数列 B. 若?n?N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等比数列 C. 若?n?N*总有cn?bn成立，则数列{an}是等差数列 D. 若?n?N*总有cn?bn成立，则数列{an}是等比数列
10、【西城二模7】．已知数列{an}的通项公式为an?n?13，那么满足
ak?ak?1??ak?19?102的整数k（ B ）
（A）有3个 （B）有2个
（C）有1个 （D）不存在
11、【西城二模14】数列{an??n}满足a1?1，an?1?n?1an，其中??R， n?1，2，．
①当??0时，a120?_____；
20 ②若存在正整数m，当n?m时总有an?0，则?的取值范围是_____.(2k?1,2k),k?N* 12、【东城二模（14）】对任意x?R，函数f(x)满足f(x?1)?f(x)?[f(x2)]?12，an?[f(n)]2?f(n)，数列{a31n}的前15项的和为?16，则f(15)? ． 34
13、已知{an}是等比数列，且其前n项和Sn?2n?a，
(I)求{an}的通项公式; (II)设b1n?(an?a)2,求数列{bn}的前n项和Tn． na?S?1解：(I) n?Sn?1,n?1?2n,n?1n???S1,n?1???2?a,n?1 由已知可得aa32??a1?2a1，解得a??1，所以a1?1, 求得an?2n?1a 2（Ⅱ）由（Ⅰ）知
k1n?(aa)2?a214n?1?1n?n?2?2?n?1?2 nan4 设
16
11因此Tn?(1?4???4n?1)?(1?4???4n?1)?2n n1?1?4?1?1?4n?2n?1(4n?41?n41?13)?2n?1
414、已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设c－a－
n＝(an+1n)qn1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 aan＝
2n?1?a1-(n－1)22. 那么aa2n?1?an＋1－an＝
2n?12－2n＋1
＝
8n?22－2n＋1 ＝2n
于是cnqn－
n＝21.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，S＋6·q2＋……＋2n·qn－
n＝2·q0＋4·q11. 两边同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得
(1－q)S－
n＝2(1＋q＋q2＋……＋qn1)－2nqn
＝2·1?qn1?q－2nqn
1?(n?1)qn?nqn?1 ＝2·1?q
17
nqn?1?(n?1)qn?1所以Sn＝2·
(q?1)2?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1…………………………12分
2(q?1)?(q?1)2?15、已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N*
(1)证明：?an?1?是等比数列；
(2)求数列?Sn?的通项公式，并求出使得Sn?1?Sn成立的最小正整数n.
5解析：(1) 当n?1时，a1??14；当n≥2时，an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1，所以an?1?(an?1?1)，
6又a1?1??15≠0，所以数列{an?1}是等比数列；
?5?(2) 由(1)知：an?1??15????6??5?由Sn?1>Sn，得???6?n?1n?1?5?，得an?1?15????6?n?1?5?，从而Sn?75????6?n?1?n?90(n?N*)；
?22?1?14.9，最小正整数n?15． ，n?log52556
*16、【东城二模20】在单调递增数列{an}中，a1?2，不等式(n?1)an?na2n对任意n?N都成立.
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由； （Ⅲ）设bn?(1?1)(1?)11)c?6(1?)， ，n2n2nb?cn*求证：对任意的n?N，n?0.
an?12(1?12
【海淀期中16】 （本小题共13分）
在等比数列{an}中，an?0(n?N)，且a1a3?4，a3?1是a2和a4的等差中项. （I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足bn?an?1?log2an（n?1,2,3...），求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（I）设等比数列{an}的公比为q.
由a1a3?4可得a22?4， ……………………………………1分 因为an?0，所以a2?2 ……………………………………2分
18
*依题意有a2?a4?2(a3?1)，得2a3?a4?a3q ……………………………………3分 因为a3?0，所以，q?2 …………………………………………..4分 所以数列{an}通项为an?2n?1 ………………………………………...6分 （II）bn?an?1?log2an?2n?n?1 ………………………………………....8分
2(1?2n)(n?1)n?可得Sn?(2?2?2?...?2)?[1?2?3?...?(n?1)]? ….......12分
1?2223n ?2n?1?2?n(n?1) …………………………………....13分 217、【海淀期中18】（本小题共14分）
已知数列{an}满足：a1?a2?a3? （I）求a1,a2,a3的值；
（Ⅱ）求证：数列{an?1}是等比数列；
（Ⅲ）令bn?(2?n)(an?1)（n?1,2,3...），如果对任意n?N，都有bn?t?t2，求实数t的取值范围.
解：（I）a1?,a2?,a3?*?an?n?an,(n?1,2,3,)
1412347 …………………………………..3分 8?an?1?an?n?an ①
（II）由题可知：a1?a2?a3? a1?a2?a3??an?an?1?n?1?an?1 ②
②-①可得2an?1?an?1 …………………………..5分 即：an?1?1?(an?1)，又a1?1?? 所以数列{an?1}是以?为首项，以
121…………………………………..7分 2121为公比的等比数列…………………..…..8分 212n?2bn?n ………………………………………...10分
2n?1?2n?2n?1?2(n?2)3?n由bn?1?bn??n??n?1?0可得n?3
2n?122n?12（Ⅲ）由(2)可得an?1?()n， ………………………………………...9分 由bn?1?bn?0可得n?3 ………………………………………....11分 所以 b1?b2?b3?b4?b5?
?bn?
19
故b1n有最大值b3?b4?8 所以，对任意n?N*，有b1n?8 ………………………………………....12分
如果对任意n?N*，都有b?1t?t2，即b21n4n?t?4t成立，
则(b111n)max?t2?4t，故有：8?t2?4t， ………………………………………....13分
解得t?112或t??4
所以，实数t的取值范围是(??,?1][142，??） ………………………………14分18、已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?1a . n（Ⅰ）设c?52,b1n?a，证明数列??b2?n??为等比数列； n?2?3?（Ⅱ）求使不等式an?an?1成立的c的取值范围 .
解：（Ⅰ）an?1?2?52?1a?2=an
?2 n2an
12anan?1?2?a?4a?2，即bn?1?4bn?2
n?2n?2bn?1?23?4(b21n?3)，又a1?1，故b1?a?2?1 1所以??2?1?bn?3??是首项为?3，公比为4的等比数列， （Ⅱ）a1?1，a2?c?1，由a2?a1得c?2
20