b1n?n(14?a?1n)2n(n?2)?1114(n?n?2)所以②Tn?b1?b2???bn
?1?111114??(1?3)?(2?4)???(n?1?n?2)???14(1?1112?n?1?n?2)?318?1m4(n?1)?4(n?2)?32 对一切n?N?恒成立。
?m?12?88n?1?n?2对一切n?N?恒成立。对n?N?，（12?88n?1?n?2)min?12?8816
1?1?1?2?3所以m?163故m的最大整数值为5。
点拨：①若数列
?an?的通项能转化为f(n?1)?f(n)的形式，常采用裂项相消法求和。 ②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。
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一．求数列{an}的最大、最小项的方法：
??0?1、比差法：an?1?an??????0
??0?例：已知数列{an}的通项公式为：an??2n2?29n?3，求数列{an}的最大项。
??1an?1?????1 (an?0) 2、比商法：an??1?9n(n?1)例：已知数列{an}的通项公式为：an?，求数列{an}的最大项。
10n3、利用函数的单调性：an?f(n) 研究函数f(n)的增减性 例：已知数列{an}的通项公式为：an?n?2007n?2008，求数列{an}的最大项。
二．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。
例：已知数列{an}的通项为：an?2n?3n，求Sn
2、错位相减法：利用等比数列前n项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
说明：（1）一般地，如果数列?an?是等差数列，?bn?是等比数列且公比为q，求数列?an?bn?的前n项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数q，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。
要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。 （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn?qSn”的表达式；
3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。
常见裂项有：
111111?(?)、?(n?k?n)
n(n?k)knn?kn?k?nk1，求前n和Sn
n(n?1)例：已知数列{an}的通项为：an?4、倒序相加法：利用等差数列前n项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。
典例精析
例一：已知正项数列
?an?的前n项和为Sn，
1Sn是与(an?1)2的等比中项，
4
①求证：数列
?an?是等差数列；
②若bn?an，数列?bn?的前n项和为Tn，求Tn n2?Tn???? ③在②的条件下，是否存在常数，使得数列??为等比数列？若存在，试求
a?n?2?出?；若不存在，说明理由。
解：①
1Sn是与(an?1)2的等比中项，
41(an?1)241当n?1时，a1?(a1?1)2，?a1?1412 当n?2时，Sn?1?(an?1?1)
4所以an?Sn?Sn?1所以Sn?122(an?an?1?2an?2an?1)4即(an?an?1)(an?an?1?2)?0?
因为an?0，所以an?an?1?2?0即：an?an?1?2
所以数列
?an?是等差数列。
2n?3 n2 ②Tn?3?
Tn??2n?31 ?(3???)?nan?22n?323??1?n
2n?32 ?所以当且仅当3+?=0，即?=－3时，数列
?Tn?????为等比数列。 a?n?2?通项与前n项和的关系
任意数列的前n项和；
注意：由前n项和 （1）求
，
求数列通项时，要分三步进行：
（2）求出当n≥2时的，
中的n=1时有
成立，则最后的通项公式可以
（3）如果令n≥2时得出的
统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…