用数学归纳法证明：当c?2时，an?an?1
（ⅰ）当n?1时，a2?c?1?a1，命题成立； a1（ⅱ）设当n?k时，ak?ak?1，则当n?k?1时，
ak?2?c?1ak?1?c?1?ak?1 ak故由（ⅰ），（ⅱ）知当c?2时，an?an?1，
所以c的取值范围是(2,??)。
19、【2010宣武二模18】（本小题共13分）
设?an?是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n,有2Sn?an?1． (I) 求a1，a2的值；
(II) 求数列?an?的通项公式；
（III）令b1?1，b2k?a2k?1?(?1)，b2k?1?a2k?3（k?1,2,3,???），求数列?bn?的前2n?1 项
kk和T2n?1．
解：(I) 当n?1时，2a1?a1?1，∴
?a1?1?0，a1?1
?2当n?2时，21?a2?a2?1，∴a2?1?2，a2?3； …………………3分 (II) ∵2Sn?an?1，∴4Sn??an?1?
24Sn?1??an?1?1?，相减得：?an?an?1??an?an?1?2??0
2∵?an?是正数组成的数列，∴an?an?1?2 ，∴an?2n?1； …………………8分 （Ⅲ）T2n?1?b1?a1???1??a2?3?a3???1??a4?3112???2??n??2???????an2n?3n?
=1+S2n?3?3?????3???1????1????????1?
12???? 21
31?3n??1?1???1? =1+?2n?? ?1?31???1?n2????3n?1?2?8n2???1?=. …………………13分 2n20、【2011昌平二模20】已知数列?an?满足a1?2a4an?2?，且对任意n?N，都有n?． 5an?1an?1?2(Ⅰ）求证：数列??1??为等差数列； a?n?(Ⅱ）试问数列?an?中ak?ak?1k?N几项；如果不是，请说明理由． （Ⅲ）令bn????是否仍是?a?中的项？如果是，请指出是数列的第
n21(?5),证明：对任意n?N*,都有不等式2bn?bn2成立. 3an
解: （Ⅰ）anan?1?2an?4anan?1?2an?1，即2an?2an?1?3anan?1， ……1分 所以
113??， ……. 2分 an?1an2?1?53是以为首项，公差为的等差数列． ……3分 ?a22?n?所以数列??1?213n?2（II）由（Ⅰ）可得数列??的通项公式为，所以an?．…… 4分 ?a3n?2a2?n?nak?ak?1?224??23k?23?k?1??29k?21k?10
…….5分
?22?． …… 7分
9k2?21k?63k2?7k?2?23??222k?k?1?3k2?7k?22?k?3k?1?因为， …… 8分
22k?k?1?3k2?7k?2当k?N时，一定是正整数，所以是正整数．
22?(也可以从k的奇偶性来分析)
22
3k2?7k?2所以ak?ak?1是数列?an?中的项，是第项． …… 9分
2(Ⅲ)证明：由（2）知：an?22123n?2，bn?(?5)?(?5)?n?4…..10分
3n?23an32
下面用数学归纳法证明：2n?4?(n?4)2对任意n?N*都成立。
(1)当n=1时，显然2?5，不等式成立. …..11分 (2)假设当n?k(k?N*)时，有2k?4?(k?4)2, 当n?k?1时，
522(k?1)?4?2?2k?4?2(k?4)2?2k2?16k?32?(k?5)2?k2?6k?7?(k?5)2
….12分
即有：2bn?1?bn?12也成立。
综合(i)(ii)知：对任意n?N*,都有不等式2bn?bn2成立 另法：二项式定理展开放缩处理。
21、【2010东城二模19】（本小题满分13分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，Sn?1?4an?1，设bn?an?1?2an． （Ⅰ）证明数列?bn?是等比数列； （Ⅱ）数列?cn?满足cn?1c3?c3c4?(n?N*)，设Tn?cc12?c2log2bn?3?ccnn1?， 若对一切
n?N*不等式4mTn?(n?2)cn恒成立，求实数m的取值范围．
证明：（Ⅰ）由于Sn?1?4an?1， ① 当n?2时，Sn?4an?1?1． ② ①?②得 an?1?4an?4an?1．
所以 an?1?2an?2(an?2an?1)．…………………………………………………2分 又bn?an?1?2an， 所以bn?2bn?1．
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因为a1?1，且a1?a2?4a1?1， 所以a2?3a1?1?4． 所以b1?a2?2a1?2．
故数列?bn?是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn11n?2，则cn?log?3?（n?N*）． 2bnn?3Tn?c1c2?c2c3?c3c4??cncn?1
?114?5?5?6?16?7??1(n?3)(n?4)
?114?n?4 ?n4(n?4)．……………………………………………………………………9分由4mTn?(n?2)cn，得
mnn?2n?4?n?3． 即m?(n?4)(n?2)n(n?3)．
所以m?n2?6n?8n2?3n．
所以m?1?3n?8n2?3n?1?3n?3?8n2?3n．……………………………………11分
设f(x)?1?3x?3?8x2?3x，x?1． 可知f(x)在[1,??)为减函数，又f(1)?154， 则当n?N*时，有f(n)?f(1)． 所以m?154．
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故当m?154时，4mTn?(n?2)cn恒成立．…………………………………13分
2012年高考数学数列知识点及题型大总结等差数列
知识要点
1．递推关系与通项公式
递推关系：an?1?an?d通项公式：an?a1?(n?1)d推广：an?am?(n?m)d变式：a1?an?(n?1)d;d?an?a1n?1d?an?amn?m
特征：an?dn?(a1?d),即：a
n?f(n)?kn?m,(k,m为常数）an?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成等差数列的充要条件。
2．等差中项：
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