③?11 ?anan?1(2n?1)(2n?3)1?11????2?2n?12n?3?1111111?Tn?(???????)235572n?12n?3要使得T?M对一切正整数n恒成立，只要M≥1，
n6111?(?)232n?31又当n?N?时，Tn?6?所以存在实数M使得Tn?M对一切正整数n都成立，M的最小值为
1。 6等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q，（q?0)。 2． 递推关系与通项公式
递推关系：an?1?qan通项公式：an?a1?qn?1 推广：an?am?qn?m3． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b??列的必要而不充分条件。 4． 前n项和公式
ac，注：b2?ac是成等比数
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?S?na1(q?1)nn??a1(1?q)a(q?1)
??1?q?1?anq1?q5． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q?N?)
①若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之不真！
②qn?m?ana，a2n?an?m?an?m(n?N?) m ③
?an?为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④q??1时，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，?仍成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化
①
?an?是等差数列??can?(c?0，c?1)是等比数列；
②
?an?是正项等比数列??logcan?(c?0，c?1)是等差数列；
③
?an?既是等差数列又是等比数列??an?是各项不为零的常数列。
7． 等比数列的判定法
①定义法：
an?1a?q（常数）??an?为等比数列； n②中项法：a2n?1?an?an?2(an?0)??an?为等比数列；
③通项公式法：
an?k?qn(k,q为常数）??an?为等比数列Sn?k(1?qn)（k,q为常数）??an?为等比数列。
④前n项和法：
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；练习：
1． 设f(n)?2?24?27?210???23n?10
(n?N?)，则f(n)等于（D）A．2(8n?1)B．2(8n?177?1)
C．2(8n?3?1)D．2(8n?477?1)2． 已知数列
?an?是等比数列，且Sm?10，S2m?30，则S3m?70 猜想：
?bn?是等比数列，公比为12。
证明如下：∵b1n?1?a2n?1?4?12a12n?4 ?1(a112n?1?) 24?4?111
2(a2n?1?4)?2bn即：
bn?1b?1，∴?b11n?是首项为a?，公比为的等比数列。n242
二、性质运用
例1：在等比数列
?an?中，a1?a6?33，a3a4?32，an?an?1
①求an，
②若Tn?lga1?lga2???lgan,求Tn
解：⑴①由等比数列的性质可知：
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a1?a6?a3?a4?32又a1?a6?33，a1?a6 解得a1?32，a6?1
所以a6a?1，即q5?1，?q?1132322所以a1n?32?()n?1?26?n2 ②由等比数列的性质可知，
?lgan?是等差数列，因为
lga6?nn?lg2?(6?n)lg2，lga1?5lg2所以T(lga1?lgan)nn(11?n)
n?2?2lg2典例精析
一、 错位相减法求和
例1：求和：S123n?a?na2?a3???an 解：⑴a?1时，S?3??n?n(n?1)n?1?22 ⑵a?1时，因为a?0 S1n?a?23aa??n2?3?an ①
11aS2n?1nn?a2?a3???an?an?1 ② 由①－②得：
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(1?1a)S111nn?a?a2???an?an?11(1?1?aan)?n1?1an?1a所以Sa(an?1)?n(a?1)n?an(a?1)2
综上所述，?n(n?1(a?1)S?)???a(an?1)2n??n(a?1)??an(a?1)2a?1)点拨：①若数列
?an?是等差数列，?bn?是等比数列，则求数列?an?bn?的前n项和时，可采用错位相减法； ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；
③当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。
二、 裂项相消法求和
例2：数列
?an?满足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N?） ①求数列
?an?的通项公式；
则d?a4?a14?1??2
所以，an=8＋（n－1）×（－2）＝―10－2n
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