若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b?a?c；a,b,c成等差数列是2b?a?c的充要2条件。
3．前n项和公式
S(a1?an)nn(n?1)dn?2 ； Sn?na1?2
特征：Sdn?2n2?(ad1?2)n,即S2n?f(n)?An?Bn
S2n?An?Bn(A,B为常数)是数列
?an?成等差数列的充要条件。
4．等差数列
?an?的基本性质(其中m,n,p,q?N?)
⑴若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之，不成立。
⑵an?am?(n?m)d
⑶2an?an?m?an?m
⑷Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等差数列
②中项法：
26
2an?1?an?an?2（n?N?)??an?是等差数列
③通项公式法：
an?kn?b(k,b为常数)??an?是等差数列
④前n项和公式法：
S2n?An?Bn(A,B为常数)??an?是等差数列
练习：1．等差数列
?an?中，
a4?a6?a8?a10?a12?120,则a19?a11的值为(C)
3A．14 B．15 C．16 D．17
解 a?13a1911?a9?3(a9?2d)?222
3(a?1209?d)3a8?3?5?162．等差数列
?an?中，a1?0，S9?S12，则前10或11项的和最大。
解：?S9?S12，S12?S9?0
?a10?a11?a12?0，?3a11?0，?a11?0，又a1?0
∴
?an?为递减等差数列∴S10?S11为最大。
3．已知等差数列
?an?的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110
27
解：∵
S10，S20?S10，S30?S20，?，S110?S100，? 成等差数列，公差为D其首项为
S10?100，前10项的和为S100?10
?100?10?10?92?D?10，?D??22又S110?S100?S10?10D ?S110?100?10?10（??22）??1104．设等差数列
?an?的前n项和为Sn，已知
a3?12，S12?0，S13?0
①求出公差d的范围，
②指出S1，S2，?，S12中哪一个值最大，并说明理由。
dan?f(n)nanSn?an?\n?2\
解：①S12?6(a1?a12)?6(a3?a10) ?6(2a3?7d)?0?24?7d?0?d??247又S13(a1?a13)13??13(a3? 22a11) ?132(2a3?8d)?0?24?8d?0?d??3从而?247?d??3②
28
?S12?6(a6?a7)?0
S13?13a7?0
?a7?0，a6?0?S6最大。练习
一、 选择题 1． 已知等差数列
?an?中，a7?a9??16，a4?1，则a12等于（A．15 B．30 C．31 D．64
解：?a7?a9?a4?a12?a
12?15二、解答题
2． 等差数列
?an?的前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50
①求通项an；②若Sn=242，求n
解：an?a1?(n?1)d
a10?30，a20?50解方程组??a1?9d?30?a 1?19d?50???a1?12?d?2?an?2n?10由S?nan(n?1)dn1?2，Sn=242 ?12n?n(n?1)2?2?242 解得n?11或n??22(舍去）
A ）29
3．已知数列
前n和Sn?an?中，a1?3，?1(n?1)(an?1)?1 2①求证：数列
?an?是等差数列
②求数列
?an?的通项公式
?1??的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正整数n都成立？若存在，
?anan?1?③设数列?求M的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵Sn?1(n?1)(an?1)?1 2?Sn?1??an?1?1(n?2)(an?1?1)?12?Sn?1?Sn
1?(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)?2整理得，nan?1?(n?1)an?1?(n?1)an?2?(n?2)an?1?1?(n?1)an?2?nan?1?(n?2)an?1?(n?1)an?2(n?1)an?1?(n?1)(an?2?an)?2an?1?an?2?an∴数列
?an?为等差数列。
②a1?3，nan?1?(n?1)an?1
?a2?2a1?1?5?a2?a1?2?an?的公差为2即等差数列?an?a1?(n?1)d?3?(n?1)?2?2n?1
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